Kesulitan dengan Metode Spektral menggunakan Chebyshev Polynomials

Saya mengalami sedikit kesulitan dalam mencoba memahami makalah. Makalah ini menggunakan metode spektral untuk memecahkan nilai eigen yang berasal dari sistem ODE yang digabungkan. Saya hanya akan menulis satu persamaan sekarang, karena itu sudah cukup untuk sampai pada inti pertanyaan saya.

Persamaannya adalah

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Saya melakukan turunan dan mendapatkan

(Persamaan 1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Sekarang menurut makalah saya harus dapat memperluas jumlah keseimbangan ) dari sistem sebagai Chebyshev Polynomials dari formulir$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ , di mana $T_i[y]$ adalah polinomial. Saya tahu cara mendapatkan $b_i$ menggunakan kode yang saya tulis di Mathematica. Juga $y = 2(r/R) -1$ , dan domain $r$ adalah $(0,R)$ .

Makalah ini juga menyatakan bahwa fungsi ( $V,W$ ) dapat diperluas sebagai $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ , dan secara umum istilah seperti $B[r]F[r]$ dapat dinyatakan sebagai

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

di mana $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ dan $\Theta(k) = 0$ untuk $k<0$ dan sama dengan 1 untuk $k\geq 0$ .

Dengan semua yang dikatakan, katakanlah saya membuat fungsi keseimbangan berikut

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ dan $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$ , Kemudian Eq1 menjadi

(Eq2) $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$ .

Pertanyaan1: Apa yang harus saya lakukan dengan ? Polinomial adalah fungsi dari jadi bagaimana saya dapat memiliki ekspansi seperti X fungsi [y]? Juga sepertinya saya bisa membaginya di setiap sisi persamaan, jadi apa gunanya pengenalan istilah itu? Maksud saya, menurut makalah istilah ini seharusnya memaksakan kondisi batas bahwa pergi ke nol sebagai pergi ke nol.$(\frac{r}{R})^l$$[y]$$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Pertanyaan2: * Bagaimana saya harus berurusan dengan dalam istilah . Makalah ini memberikan deskripsi tentang bagaimana menangani istilah turunan, tetapi bagaimana dengan itu sendiri. Apakah saya seharusnya memperlakukannya seperti nilai keseimbangan dan menggunakan aturan untuk istilah seperti atau haruskah saya menyatakan ini dalam bentuk . Atau haruskah saya melakukan sesuatu yang lain sama sekali?$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

Saya tidak yakin mungkin untuk menjawab pertanyaan tanpa membaca kertas secara terperinci. Tetapi sehubungan dengan pertanyaan pertama, Anda memiliki . Dan faktor ini tidak dapat dibagi karena tidak mengalikan semua istilah.$r/R = (y+1)/2$

Untuk pertanyaan 2: karena persamaan ini akan digunakan untuk menerapkan kondisi batas pada , saya pikir istilah yang Anda sebutkan harus menghilang.$r=0$