Secara matematis, mengapa matriks massa / pemuatan penggumpalan vektor bekerja?

Saya tahu bahwa orang sering mengganti matriks massa yang konsisten dengan matriks diagonal yang disatukan. Di masa lalu, saya juga menerapkan kode di mana vektor beban dirakit dalam mode yang disatukan daripada mode yang konsisten dengan FEM. Tapi saya tidak pernah melihat mengapa kita diizinkan melakukan ini sejak awal.

Apa intuisi di balik lumping yang memungkinkan seseorang untuk menerapkannya pada massa dan memuat vektor? Apa pembenaran matematis untuk itu? Dalam situasi apa penggumpalan tidak diizinkan / bukan perkiraan yang baik untuk vektor massa dan beban?

Dalam metode elemen hingga, entri matriks dan entri sisi kanan didefinisikan sebagai integral. Kita dapat, secara umum, tidak menghitung ini dengan tepat dan menerapkan quadrature. Tetapi ada banyak rumus quadrature yang bisa dipilih, dan sering kali dipilih dengan cara sedemikian rupa sehingga (i) kesalahan yang diperkenalkan oleh quadrature memiliki urutan yang sama dengan yang disebabkan oleh diskritisasi, atau setidaknya tidak jauh lebih buruk, dan (ii) matriks memiliki sifat-sifat tertentu yang ternyata nyaman.

Mass lumping adalah contoh kerja ini: Jika seseorang memilih rumus quadrature tertentu (yaitu, yang dengan titik quadrature terletak di titik interpolasi dari elemen hingga), maka matriks massa yang dihasilkan terjadi diagonal. Itu cukup nyaman untuk implementasi komputasi, dan alasan mengapa orang menggunakan rumus quadrature ini. Itu juga alasan mengapa itu "bekerja": Pilihan formula quadrature ini masih memiliki urutan yang cukup tinggi.

Matriks diagonal memiliki keuntungan yang jelas dalam mempercepat perhitungan numerik, dan jawaban Wolfgang Bangerth adalah penjelasan yang baik tentang bagaimana menghitung matriks massa diagonal, tetapi itu tidak menjawab pertanyaan OP "mengapa ini bekerja " dalam arti "mengapa itu perkiraan yang baik untuk fisika yang Anda modelkan ".

Secara konseptual, Anda dapat memisahkan respons elemen menjadi tiga bagian: gerak translasi benda tegar, rotasi kaku tentang pusat elemen massa, dan deformasi elemen.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Oleh karena itu, Anda hanya benar-benar memerlukan pendekatan "baik" ke bagian tubuh yang kaku dari gerakan, yaitu 6 DOF, dan pada kenyataannya pendekatan yang baik untuk hanya KE dari terjemahan tubuh yang kaku , yaitu 3 DOF, akan menyatu ketika ukuran elemen adalah berkurang.

Istilah diagonal dari matriks elemen mengandung lebih dari cukup parameter independen untuk mewakili 3 atau 6 syarat KE dengan akurasi yang cukup. Bahkan untuk elemen tingkat tinggi, Anda dapat menggunakan matriks massa diagonal massa di mana istilah diagonal untuk node sisi tengah adalah nol.

Perhatikan bahwa ini adalah situasi yang sangat berbeda dari energi potensial elemen, di mana kontribusi dari translasi dan rotasi benda tegar adalah nol, dan satu-satunya hal yang penting adalah mewakili energi regangan yang sesuai dengan deformasi elemen . Matriks kekakuan diagonal karena itu tidak akan menjadi ide yang layak!

Selain jawaban lain, ada skenario di mana kesalahan dalam matriks massa tidak mempengaruhi hasil yang diinginkan.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Walaupun pemikiran tentang perilaku fisik yang dinamis tentu saja lebih mudah dengan matriks massa "yang benar" - misalnya momentum sudut mungkin secara tidak tepat dilestarikan oleh matriks massa yang disatukan.}