Bagaimana modifikasi peringkat rendah mempengaruhi konvergensi metode Krylov?

Katakanlah saya memiliki sistem linier $A x = b$ , yang konvergen dengan cepat menggunakan metode Krylov yang sesuai (seperti CG atau GMRES) untuk semua $b$ . Jika $B$ adalah matriks dengan peringkat rendah $r$, akankah metode Krylov yang sama pada sistem $(A + B) x = b$ juga konvergen dengan cepat (idealnya dengan jumlah iterasi tambahan yang kira-kira hanya bergantung pada $r$ )?

Contoh dari sistem tersebut adalah elastisitas dan tekukan membran yang telah dipra-kondisikan dengan baik serta syarat-syarat tekanan udara tanpa kondisi dengan struktur produk luar yang padat.

Perhatikan bahwa pertanyaannya sama dengan atau tanpa prasyarat, karena adalah modifikasi peringkat .r P A $P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Jika ruang bagian Krylov Anda didasarkan pada kekuatan , konvergensi akan ditunda oleh sejumlah iterasi paling banyak pangkat koreksi. Jika didasarkan pada kekuatan A T A maka paling banyak dua kali angka ini.$A$$A^TA$

Saya belum melihat pernyataan seperti itu di literatur. Tapi untuk melihat keabsahan dalam kasus pertama, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa th Krylov ruang dari matriks A + U S V T di mana U , V memiliki r kolom yang terkandung dalam ruang yang sesuai tanpa koreksi peringkat rendah tetapi dengan Sejalan dengan itu, indeks k + r lebih tinggi . Ini mudah untuk diverifikasi.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$