Bagaimana cara mengintegrasikan ekspresi polinomial melalui elemen 4-simpul 3D?

Saya ingin mengintegrasikan ekspresi polinomial melalui elemen 4-simpul dalam 3D. Beberapa buku tentang FEA membahas kasus di mana pengintegrasian dilakukan pada elemen flat 4-noned yang sewenang-wenang. Prosedur yang biasa dalam hal ini adalah menemukan matriks Jacobi dan menggunakannya untuk mengubah basis integrasi menjadi yang dinormalisasi di mana saya memiliki batas integrasi yang lebih sederhana [-1; 1] dan teknik quadrature Gauss-Legendre digunakan dengan mudah.

Dengan kata lain direduksi menjadi bentuk $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Tapi dalam kasus 2D saya mengubah elemen sewenang-wenang datar ke yang datar tapi berbentuk persegi 2 dengan 2.

Elemen 3D 4-noded tidak datar secara umum tapi saya kira itu masih dapat dipetakan dengan sistem koordinat 2D yang entah bagaimana terkait dengan sistem koordinat kartesius. Saya tidak tahu bagaimana cara mengekspresikan {x, y, z} dalam hal {e, n} dan berapa ukuran matriks Jacobi dalam kasus ini (seharusnya persegi).

Domain 2D dan 3D

finite-element quadrature

— danny_23
sumber

Anda sedang mengintegrasikan fungsi pada manifold 2 dimensi yang disematkan dalam ; buku-buku dalam analisis manifold (seperti buku Munkres yang dapat diakses, atau buku Lee tentang manifold) sangat membantu dalam membahas teori yang mendefinisikan jenis integral ini. $\mathbb{R}^{3}$

Anggaplah adalah fungsi bernilai nyata yang didefinisikan pada manifold , yang merupakan elemen 3-D 4-simpul Anda. $f$ $\mathcal{M}$

Anda ingin menghitung:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Misalkan adalah fungsi yang memetakan ke . Kemudian $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Saya menggunakan rangkaian catatan ini untuk menyegarkan ingatan saya.) Di atas, adalah matriks Jacobian dari , dan adalah transposinya. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Setelah Anda dapat menulis integral lebih dari , maka Anda dapat menggunakan metode numerik untuk mengevaluasinya. $[-1,1]^{2}$

Beberapa komentar:

Saya cukup yakin elemen 4-simpul 3-D Anda berlipat ganda. Jika ya, fungsi ada (menurut definisi), adalah bagian kontinu (untuk manifol topologi), dan tidak dapat dibalik. Terserah Anda untuk menemukan fungsi dengan properti itu. $\varphi$
Argumen di atas mengasumsikan bahwa adalah manifold yang mulus, yang menyiratkan bahwa ada yang terus dapat dibedakan. Dalam kasus Anda, elemen yang Anda uraikan mungkin tidak dapat dibedakan secara terus-menerus. Jika itu benar, Anda mungkin masih bisa mempartisi manifold Anda menjadi dua manifold halus, dan kemudian argumen di atas masih berlaku. Sekali lagi, Anda harus menemukan memuaskan sifat-sifat keterbalikan dan diferensiasi berkelanjutan. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
sumber

Terima kasih banyak. Buku yang saya baca hanya membahas kasus di mana kuadrat (2 oleh 2) matriks Jacobi dilibatkan untuk menjaga hal-hal sederhana. Ungkapan di atas jika saya melakukannya dengan benar memungkinkan untuk menggunakan matriks Jacobi berukuran 2 x 3. Sayangnya saya masih mendapatkan pada saat ini tetapi jauh lebih baik daripada yang saya miliki sebelumnya. Saya akan membuat utas lain tentang pilihan fungsi pemetaan yang tepat. Terima kasih lagi.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

Matriks Jacobian Anda harus berukuran 3 x 2, jadi harus berupa matriks 2 dengan 2.

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— Geoff Oxberry

Geoff, itu benar. Saya meletakkan formula umum sederhana ditambah contoh yang sudah dikerjakan di sini: teoretis-physics.net/dev/src/math/integration.html

— Ondřej Čertík