integrasi numerik dengan kemungkinan pembagian dengan 'nol'

Saya mencoba mengintegrasikan

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

yang merupakan transformasi sederhana dari

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

menggunakan karena sulit untuk memperkirakan secara integral integral secara numerik. Ini, bagaimanapun, mengarah pada masalah mengevaluasi integrand baru mendekati nol. Akan sangat mudah untuk mendapatkan jumlah node quadrature yang tepat karena intervalnya hanya panjang 1 (sehingga sebanding dapat dibuat sangat kecil), tetapi pertimbangan seperti apa yang harus saya buat ketika mengintegrasikan mendekati nol? $t = \frac1{x}$ $dt$

Pada tingkat tertentu, saya berpikir bahwa dengan mengambil adalah ide yang baik di mana adalah sejumlah kecil . Namun, nomor apa yang harus saya pilih? Haruskah itu mesin epsilon? Apakah pembagian berdasarkan mesin epsilon merupakan angka yang terkuantifikasi dengan baik? Selain itu, jika pembagian epsilon mesin saya (atau dekat dengan itu) memberikan angka yang sangat besar, maka mengambil akan menjadi lebih besar. $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Bagaimana saya harus menjelaskan ini? Apakah ada cara untuk memiliki integral numerik yang terdefinisi dengan baik dari fungsi ini? Jika tidak, apa cara terbaik untuk mengintegrasikan fungsi?

quadrature accuracy

— drjrm3
sumber

Sudahkah Anda mempertimbangkan untuk menggunakan Monte Carlo?

— Faheem Mitha

Saya merasa itu tidak akan memperbaiki masalah. Integrasi Monte Carlo sering dicadangkan untuk integral dimensi tinggi. Saya akan mengalami masalah yang sama persis dengan Monte Carlo, saya hanya akan memiliki sedikit kontrol di mana fungsi saya sedang dievaluasi.

— drjrm3

Kamu mungkin benar.

— Faheem Mitha

Saya pikir itu masih akan baik untuk memiliki jawaban (mungkin untuk pertanyaan yang terpisah, lebih umum) menjelaskan bagaimana seseorang melakukan integrasi numerik ketika fungsinya berbeda pada satu batas, untuk kasus umum di mana tidak mungkin untuk melakukan integral analitik. Kemudian lagi, itu bisa juga ditemukan dalam Numerical Recipes ...

— David Z

@Faheem: "Monte Carlo adalah metode yang sangat buruk; harus digunakan hanya ketika semua metode alternatif lebih buruk." - Alan Sokal

— JM

Jawaban:

Ini dapat dilakukan dengan integrasi oleh bagian-bagian: dan melanjutkan dengan induksi sehingga dan .

\int_{1}^{\infty} x e^{- Sebuah x} = \frac{- 1}{Sebuah} x e^{- Sebuah x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{Sebuah} \int_{1}^{\infty} e^{- Sebuah x} = \frac{e^{- Sebuah}}{Sebuah} + \frac{e^{- Sebuah}}{{Sebuah}^{2}} = \frac{Sebuah + 1}{{Sebuah}^{2}} e^{- Sebuah}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{- Sebuah x} = \frac{- 1}{Sebuah} x^{k} e^{- Sebuah x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- k}{Sebuah} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- Sebuah x} = \frac{e^{- Sebuah}}{Sebuah} + \frac{k}{Sebuah} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- Sebuah x}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

saya (k) = \frac{e^{- Sebuah}}{Sebuah} + \frac{k}{Sebuah} saya (k - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

— Matt Knepley
sumber

sama sekali tidak tahu bagaimana saya mengabaikan ini. Terima kasih.

— drjrm3

Penggantian dan integrasi yang cerdas oleh bagian harus selalu menjadi salah satu hal pertama yang Anda lakukan dengan integral yang sulit dikendalikan.

— JM

Sering kali ide yang baik untuk menanyakan sistem aljabar komputer setiap kali Anda memiliki integral seperti ini. Maple mengevaluasi " " segera ke ; Saya yakin Mathematica melakukan hal yang sama. (Masih ide yang bagus untuk memverifikasinya secara numerik, tentu saja, yang biasanya dapat dilakukan oleh orang-orang ini.)

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

— Erik P.

Sebenarnya Mathematica memilih untuk mewakili jawaban sebagai ExpIntegralE [-2 n, ar]. Jika Anda menjalankan FunctionExpand di atasnya, maka itu memberikan jawaban yang sama seperti Maple.

— Searke

Lihatlah QUADPACK . Ini memiliki rutinitas untuk integrasi lebih dari (semi-) domain tak terbatas.

— GertVdE
sumber