Perhitungan faktor Cholesky

11

Jadi teorema dekomposisi Cholesky menyatakan bahwa setiap matriks definitif positif pasti simetris nyata memiliki dekomposisi Cholesky mana adalah matriks segitiga lebih rendah. $M$ $M= LL^\top$ $L$

Mengingat , kita sudah tahu ada algoritma cepat untuk menghitung faktor Cholesky . $M$ $L$

Sekarang, anggaplah saya diberi sebuah matriks persegi panjang , dan saya tahu bahwa adalah pasti positif. Adakah cara untuk menghitung faktor Cholesky dari tanpa menghitung secara eksplisit dan kemudian menerapkan algoritma faktorisasi Cholesky? $m\times n$ $A$ $A^\top A$ $L$ $A^\top A$ $A^\top A$

Jika adalah matriks segi empat yang sangat besar yang melakukan secara eksplisit tampak sangat mahal dan karenanya pertanyaannya. $A$ $A^\top A$

linear-algebra algorithms

— smilingbuddha
sumber

Lebih dari biaya pembentukan matriks lintas-produk, pendekatan ini juga kuadratkan nomor kondisi . Jika hampir tidak memiliki peringkat, maka ini tentu cara yang buruk untuk melanjutkan.

A

$\mathbf A$

A

$\mathbf A$

— JM

Pertanyaan ini dan pertanyaan ini menanyakan hal yang sama dengan cara yang berbeda. Jawaban di utas ini (dan jawaban di bawah) harus bermanfaat bagi Anda.

— Damien

8

Ya, Anda dapat memperoleh faktor (hingga tanda-tanda entri) menggunakan dekomposisi QR; lihat jawaban ini . Perhatikan bahwa jika semua yang Anda minati adalah menyelesaikan masalah kuadrat terkecil yang mengarah ke persamaan normal yang melibatkan , Anda dapat menggunakan dekomposisi QR secara langsung. $A^T A$

— Christian Clason
sumber

7

Iya. Hitung faktorisasi dan ambil ; skala ulang baris jika perlu (dengan mengubah beberapa tanda mereka) untuk membuat tanda diagonal nonnegatif (karena faktor Cholesky didefinisikan memiliki diagonal nonnegatif). $QR$ $L=R^T$ $R$

Untuk faktorisasi QR yang jarang, lihat, misalnya, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408

— Arnold Neumaier
sumber