Strategi untuk Metode Newton ketika Jacobian pada solusinya adalah tunggal

12

Saya mencoba memecahkan sistem persamaan berikut untuk variabel dan (semuanya adalah konstanta): $P,x_1$ $x_2$

\frac{A (1 - P)}{2} - k_{1} x_{1} = 0 \frac{A P}{2} - k_{2} x_{2} = 0 \frac{(1 - P) (r_{1} + x_{1})^{4}}{L_{1}} - \frac{P (r_{1} + x_{2})^{4}}{L_{2}} = 0

$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$

Saya dapat melihat bahwa saya dapat mengubah sistem persamaan ini menjadi persamaan tunggal dari variabel tunggal dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 2 untuk masing-masing dan dan menggantikannya menjadi persamaan 3. Dengan demikian, saya dapat gunakan perintah matlab untuk menemukan solusinya. Dengan menggunakan parameter , , dan , saya menemukan solusi sebenarnya adalah $(P)$ $x_1$ $x_2$ fzero $k_1=k_2=1$ $r_1=r_2=0.2$ $A=2$ . $P=x_1=x_2=0.5$

Namun, ketika saya menggunakan metode newton yang diterapkan pada sistem persamaan 3 variate - 3 asli, iterasi tidak pernah menyatu dengan solusi, tidak peduli seberapa dekat saya mulai dengan solusi yang benar . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

Pada awalnya, saya mencurigai ada bug dalam penerapan metode newton. Setelah memeriksa beberapa kali, saya tidak menemukan bug. Kemudian saya mencoba menggunakan tebakan awal , dan lihatlah: Jacobian adalah singular. Saya tahu bahwa seorang jacobian tunggal dapat mengurangi urutan konvergensi, tetapi saya tidak berpikir itu mencegah konvergensi dengan solusi yang benar. $x_0=x^*$

Jadi, pertanyaan saya adalah, Mengingat bahwa jacobian sistem pada solusi yang sebenarnya adalah tunggal:

Kondisi lain apa yang diperlukan untuk membuktikan bahwa metode newton tidak akan menyatu dengan root?
Akankah strategi globalisasi (mis. Pencarian garis) menjamin konvergensi terlepas dari jacobian tunggal?

optimization convergence newton-method

— Paul
sumber

4

(1): Ini tergantung pada perilaku turunan Jacobian (sic!) Di ruang nol Jacobian pada solusinya. Dalam praktiknya, tidak ada yang menghitung turunan ini, dan saya bahkan tidak repot-repot mengingat kondisi yang tepat.

(2) berfungsi, meskipun konvergensi hanya linier.

Untuk mendapatkan konvergensi superlinear (setidaknya dalam sebagian besar kasus), seseorang dapat menggunakan metode tensor. Lihat, misalnya,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ index / X5G827367G548327.pdf

— Arnold Neumaier
sumber

3

Alih-alih pencarian baris, Anda bisa mencoba memodifikasi metode Newton Anda ke algoritma Levenberg-Marquardt . Implementasinya cukup sederhana jika Anda menggunakan Matlab.

— Leo Uieda
sumber