Mengintegrasikan fungsi harmonis pada tetrahedron

Katakanlah saya memiliki fungsi yang ingin saya integrasikan melalui tetrahedron . Jika sewenang-wenang, Gauss quadrature akan menjadi solusi yang baik, tetapi saya kebetulan tahu bahwa adalah harmonis. Seberapa banyak Gauss quadrature dapat dipercepat menggunakan informasi ini? $f : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$ $T \subset \mathbf{R}^3$ $f$ $f$

Sebagai contoh, jika bukan bola, mengevaluasi sekali di pusat bola memberikan jawaban yang tepat dengan properti nilai rata-rata. $T$ $f$

Pencarian muncul makalah berikut, yang menarik tetapi menggeneralisasi kasus bola dalam arah yang berbeda (ke polyharmonic bukannya menjauh dari bola):

Bojanov dan Dimitrov, Gaussian memperluas formula cubature untuk fungsi polyharmonic

quadrature

— Geoffrey Irving
sumber

Saya menemukan sesuatu yang mungkin menarik. http://www.math.kth.se/~gbjorn/exact.pdf

Saya harap ini membantu, Tom

— Tom
sumber

Itu makalah yang menarik, tetapi sepertinya itu dan rujukannya hanya memperlakukan integral dari operator diferensial fungsi harmonik. Apakah Anda tahu jika mereka dapat digunakan untuk integral lurus?

— Geoffrey Irving

Saya bertanya-tanya apakah memperkenalkan formula quadrature dengan apa yang disebut "Poisson kernel" ( en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ) dapat membantu ... Kalau tidak, saya tahu bahwa beberapa teknik xfem menggunakan fungsi harmonik untuk memperkaya ruang FE, dan karena itu harus menggunakan metode quadrature spesifik untuk mengintegrasikan bentuk variasional (?).

— Tom