Quadrature Numerik dengan Derivatif

19

Kebanyakan metode numerik untuk quadrature memperlakukan integand sebagai fungsi kotak hitam. Bagaimana jika kita memiliki informasi lebih lanjut? Secara khusus, apa manfaatnya, jika ada, yang dapat kita peroleh dari mengetahui beberapa turunan pertama dari integrand? Informasi apa yang mungkin berharga?

Khusus untuk derivatif: estimasi kesalahan untuk quadrature dasar (aturan rectangle / trapzoid / simpson) sangat terkait. Mungkin ada cara untuk memilih resolusi sampling daripada mengandalkan adaptasi dinamis?

Saya tertarik pada kasus univariat dan multidimensi.

quadrature error-estimation

— MRocklin
sumber

3

Hanya koreksi kecil: Aturan persegi panjang, trapesium, dan Simpson adalah aturan tipe Newton-Cotes, bukan quadratures Gaussian.

— Pedro

20

Saya pikir ini tidak cukup apa yang ada dalam pikiran Anda, tetapi demi kelengkapan, mari kita mulai dengan beberapa dasar. Sebagian besar rumus quadrature seperti Newton-Cotes dan Gauss didasarkan pada gagasan bahwa untuk mengevaluasi integral suatu fungsi kira-kira, Anda dapat memperkirakan fungsi dengan, misalnya, polinomial yang kemudian dapat Anda integrasikan dengan tepat:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

$x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

$\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Untuk quadrature multidimensi, Anda menghadapi masalah bahwa jumlah turunan (termasuk turunan campuran) yang Anda perlu evaluasi tumbuh sangat cepat seiring dengan meningkatnya pesanan.

Kembali ke pertanyaan Anda: Cara langsung untuk mengeksploitasi informasi derivatif adalah dengan menggunakan subdivisi domain integrasi Anda dan menggunakan quadrature terpisah untuk setiap divisi. Jika Anda tahu bahwa turunan dari fungsi Anda besar di beberapa bagian domain, Anda akan menggunakan domain yang lebih kecil (pada dasarnya, rumus quadrature yang dijumlahkan) atau urutan quadrature yang lebih tinggi. Ini terkait dengan h- dan p-adaptifitas , masing-masing, dalam metode elemen hingga.

— Christian Clason
sumber

6

Ada sejumlah aturan integrasi yang "dikoreksi" yang memunculkan turunan dari titik akhir. Salah satu contoh sederhana adalah aturan trapesium yang diperbaiki. Misalkan kita ingin mendekati integral

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

$n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

$h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

sangat meningkatkan akurasi. Sebagai contoh, pertimbangkan

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0.7458656148457, 0,74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

masing-masing. Kesalahannya adalah

| saya - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

dan

| saya - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

menunjukkan peningkatan akurasi yang luar biasa. Ada koreksi lebih lanjut yang melibatkan turunan yang lebih tinggi, atau mulai dari aturan Newton-Cotes lain atau aturan tipe Gaussian.

— Alasdair
sumber

5

$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ persis. Seperti yang diharapkan, untuk menggunakan aturan ini, seseorang sekarang diharapkan dapat mengevaluasi fungsi Anda dan sejumlah turunannya pada titik nyata yang berubah-ubah. Pencarian di tempat-tempat biasa harus dapat menghasilkan beberapa referensi lagi.

— JM
sumber

4

Meskipun utas ini sudah cukup lama, saya pikir mungkin berguna untuk memiliki referensi ke makalah yang ditinjau oleh rekan sejawat untuk generalisasi dari beberapa aturan quadrature yang umum.

Nenad Ujevic, "Generalisasi aturan Simpson yang dimodifikasi dan batas kesalahan", ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Saya pikir akan bermanfaat untuk memberikan referensi yang baik yang dapat diakses secara bebas, dan yang memiliki referensi ke makalah lain.

Seperti yang dicatat Alasdair di atas, turunan dari titik akhir dapat meningkatkan akurasi dengan luar biasa. Sebagai contoh, Ujevic dan Roberts menunjukkan bahwa menambahkan turunan pertama ke Simpson's Rule mengurangi kesalahan ke urutan ke-6 dalam jarak grid, sedangkan urutan ke-4 tanpa turunan. Makalah Ujevic menunjukkan bahwa batas kesalahan yang lebih ketat dapat ditemukan.

N. Ujevic dan AJ Roberts, Formula dan aplikasi kuadratur terkoreksi, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41-E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason menyarankan agar saya memindahkan komentar yang saya buat menjadi jawaban karena dia pikir referensi yang saya berikan adalah yang baik dan mungkin akan hilang jika komentar dihapus pada tahap tertentu.)

— Lysistrata
sumber

Bisakah Anda mengomentari hasil yang disajikan dalam artikel?

— nicoguaro

Saya dapat sekarang karena saya memiliki poin rep yang cukup! Saya pikir akan bermanfaat untuk memberikan referensi yang baik yang dapat diakses secara bebas, dan yang memiliki referensi ke makalah lain. Seperti yang dicatat Alasdair di atas, turunan dari titik akhir dapat meningkatkan akurasi dengan luar biasa. Sebagai contoh, dalam referensi 6 makalah yang saya tautkan, Roberts dan Ujevic menunjukkan bahwa menambahkan turunan pertama ke Simpson's Rule mengurangi kesalahan ke urutan ke-6 dalam jarak grid, sedangkan urutan ke-4 tanpa turunan. Makalah Ujevic menunjukkan bahwa batas kesalahan yang lebih ketat dapat ditemukan.

— Lysistrata

1

@Lysistrata Itu referensi yang bagus. Bisakah Anda mengedit komentar Anda menjadi jawabannya sendiri? Komentar bisa hilang, dan sayang sekali kehilangannya.

— Christian Clason