Apakah 8 Gauss poin diperlukan untuk elemen hingga heksahedral urutan kedua?

Apakah mungkin untuk mendapatkan akurasi urutan kedua untuk elemen hingga heksahedral dengan kurang dari 8 poin Gauss tanpa memperkenalkan mode yang tidak fisik? Satu titik Gauss pusat memperkenalkan mode geser tidak fisik, dan pengaturan simetris standar 8 titik Gauss mahal dibandingkan dengan diskritisasi tetrahedral.

Sunting : Seseorang meminta persamaan. Persamaan yang saya minati adalah elastisitas nonlinier, baik dinamis atau quasistatic. Persamaan kuasi adalah

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— Geoffrey Irving
sumber

Apa sebenarnya yang Anda simulasi?

— Dan

Elastisitas linier saat ini, tetapi pertanyaannya adalah tentang elastisitas nonlinear pada umumnya.

— Geoffrey Irving

Anda mungkin harus memasukkan persamaan yang Anda minati, karena definisi "nonfisik" tergantung padanya. Atau setidaknya mendefinisikan dengan tepat ruang fungsi yang "fisik".

— David Ketcheson

Persamaan ditambahkan.

— Geoffrey Irving

Dengan dPhi / dx, maksud Anda gradien?

— Wolfgang Bangerth

Jawaban:

Sejauh simulasi mekanika elemen padat elemen hingga, Anda tidak dapat menggunakan kurang dari 8 titik kuadratur tanpa menggunakan kekuatan stabilisasi. Dalam hal bahan yang tidak dapat dimampatkan (kasing Anda), solusi terbaik untuk tujuan akurasi adalah dengan menggunakan formulasi campuran. Anda dapat merujuk ke buku oleh Simo dan Hughes: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

— Nicolas Tardieu
sumber

Secara relatif jelas bahwa secara umum Anda tidak bisa melepaskan lebih sedikit titik kuadratur per sel daripada tingkat kebebasannya. Dalam kasus elemen trilinear pada hexahedron 3d, ada 8 derajat kebebasan (satu per titik) sehingga jumlah minimum titik kuadratur adalah delapan juga.

yang tidak dapat dibalik dan akibatnya sama sekali tidak berguna. Alasannya adalah bahwa rumus quadrature satu titik tidak dapat membedakan antara semua fungsi linier (bagian dari ruang percobaan) yang memiliki nilai yang sama pada titik quadrature; dengan kata lain, untuk aturan titik tengah, fungsi bentuk 'x' sama dengan fungsi '0' sama dengan fungsi '-x'. Dengan kata lain, sementara ruang uji coba memiliki dimensi 2 dengan integral yang tepat, untuk aturan titik tengahnya ruang memiliki dimensi 1, meskipun ada dua derajat kebebasan - itu adalah definisi ruang yang tidak tanpa gangguan.) untuk aturan titik tengah, fungsi bentuk 'x' sama dengan fungsi '0' sama dengan fungsi '-x'. Dengan kata lain, sementara ruang uji coba memiliki dimensi 2 dengan integral yang tepat, untuk aturan titik tengahnya ruang memiliki dimensi 1, meskipun ada dua derajat kebebasan - itu adalah definisi ruang yang tidak tanpa gangguan.) untuk aturan titik tengah, fungsi bentuk 'x' sama dengan fungsi '0' sama dengan fungsi '-x'. Dengan kata lain, sementara ruang uji coba memiliki dimensi 2 dengan integral yang tepat, untuk aturan titik tengahnya ruang memiliki dimensi 1, meskipun ada dua derajat kebebasan - itu adalah definisi ruang yang tidak tanpa gangguan.)

— Wolfgang Bangerth
sumber

Saya pikir pertanyaan Geoff lebih halus. Untuk ruang elemen hingga terus menerus pada tetrahedra dalam domain berbentuk baik (misalnya tanpa elemen terisolasi), Anda bisa lolos dengan kuadratur titik tunggal yang jelas-jelas kurang terintegrasi. Pertanyaannya adalah apakah ada kemungkinan untuk kurang mengintegrasikan dalam beberapa cara dengan elemen heksahedral. Saya tidak tahu jawabannya, tapi saya tidak yakin seberapa besar masalahnya karena titik kuadratur tidak memerlukan gerakan memori tambahan. Setelah Anda mengevaluasikan evaluasi residu elemen hingga, umumnya hal itu terikat dengan memori, jadi Anda mungkin lebih baik menggunakan jepit.

— Jed Brown

Poin bagus tentang gerak ingatan.

— Geoffrey Irving

Untuk memperluas pada poin Jed: alasan argumen "jelas" di atas adalah salah adalah bahwa setiap titik quadrature melihat matriks . Untuk tetrahedra, yang mencakup semua gerakan simpul tidak termasuk terjemahan seragam, yang tidak mempengaruhi energi atau gaya, sehingga satu titik quadrature cukup untuk akurasi urutan pertama.

3 \times 3

$3 \times 3$

— Geoffrey Irving

Agak merepotkan bahwa komentar tidak dapat memasukkan baris baru.

— Geoffrey Irving

@JedBrown: Poin bagus. Gradien fungsi linear pada tets adalah konstanta dan jadi titik kuadratur tunggal sudah cukup, mengikuti argumen yang saya buat untuk matriks massa (matriks kekakuan adalah matriks massa untuk gradien :-). Di sisi lain, gradien fungsi trilinear pada heksahedra adalah fungsi kuadrat (anisotropik) sehingga orang tentu membutuhkan lebih dari satu titik kuadratur per arah koordinat.

— Wolfgang Bangerth