Pemilihan metode untuk quadrature numerik

Ada beberapa keluarga metode untuk quadrature numerik. Jika saya memiliki kelas khusus integrand, bagaimana cara memilih metode yang ideal?

Apa pertanyaan yang relevan untuk ditanyakan baik tentang integrand (misalnya apakah lancar? Apakah memiliki singularitas?) Dan masalah komputasi (misalnya toleransi kesalahan, anggaran komputasi)?

Bagaimana jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini mengesampingkan atau mempromosikan berbagai metode keluarga? Untuk kesederhanaan mari kita pertimbangkan hanya integral tunggal atau dimensi rendah.

Sebagai contoh, artikel Wikipedia tentang QUADPACK menyatakan bahwa QAGSrutinitas yang cukup umum " menggunakan kuadratur adaptif global berdasarkan kuadratur Gauss-Kronrod 21-titik dalam setiap subinterval, dengan akselerasi oleh algoritma epsilon Peter Wynn "

Bagaimana keputusan ini dibuat? Bagaimana seseorang bisa membuat keputusan serupa ketika lebih banyak yang diketahui?

quadrature

— MRocklin
sumber

Mungkin diperlukan informasi yang lebih spesifik untuk menjawab ini dengan benar. Tidak ada kriteria satu-ukuran-untuk-semua, kuadrat gaussian sering bekerja dengan baik untuk masalah yang sangat halus sedangkan kuadratur lain dapat digunakan di hadapan singularitas ringan. Tetapi jika Anda periodik, maka trapesium sederhana mungkin memotongnya.

— Reid. Attcheson

@ Reid.Atcheson, saya pikir Anda sedang menjawab pertanyaan sekarang. Saya tidak bertanya apa metode terbaik, saya bertanya jenis pertanyaan apa yang akan Anda tanyakan dan apa jawaban yang akan Anda katakan? Bagaimana seseorang mendekati masalah semacam ini secara umum?

— MRocklin

Pertama-tama, Anda perlu bertanya pada diri sendiri pertanyaan apakah Anda memerlukan rutin quadrature serba yang harus mengambil integand sebagai kotak hitam. Jika demikian, Anda tidak bisa tidak pergi untuk quadrature adaptif di mana Anda berharap bahwa adaptifitas akan menangkap tempat "sulit" di integrand. Dan itulah salah satu alasan Piessens et al. memilih untuk aturan Gauss-Kronrod (jenis aturan ini memungkinkan Anda untuk menghitung perkiraan integral dan perkiraan kesalahan perkiraan menggunakan evaluasi fungsi yang sama) dari urutan sederhana yang diterapkan dalam skema adaptif (dengan pembagian interval dengan kesalahan tertinggi) sampai toleransi yang diperlukan tercapai. Algoritma Wynn-epsilon memungkinkan untuk memberikan percepatan konvergensi dan biasanya membantu dalam kasus di mana ada singularitas titik akhir.

Tetapi jika Anda tahu "bentuk" atau "tipe" dari integrand Anda, Anda dapat menyesuaikan metode Anda dengan apa yang Anda butuhkan sehingga biaya komputasi terbatas untuk akurasi yang Anda butuhkan. Jadi apa yang perlu Anda perhatikan:

Integrand:

Kelancaran: dapat diperkirakan (dengan baik) oleh polinomial dari keluarga polinom ortogonal (jika demikian, kuadratur Gaussian akan bekerja dengan baik)
Singularitas: dapatkah integral dipisah dalam integral dengan hanya titik akhir-singularitas (jika demikian, aturan IMT atau kuadratur eksponensial ganda akan baik pada setiap sub-interval)
Biaya komputasi untuk evaluasi?
Bisakah integrand dihitung? Atau hanya data point-wise terbatas yang tersedia?
Integrand sangat berosilasi: mencari metode tipe-Levin.

$|x-c|^{-\alpha}$ $c$ $\alpha$

Interval integrasi: terbatas, semi tak terbatas atau tak terbatas. Dalam hal interval semi-infinite atau infinite, dapatkah mereka direduksi menjadi interval terbatas oleh transformasi variabel? Jika tidak, polinomial Laguerre atau Hermite dapat digunakan dalam pendekatan kuadratur Gaussian.

Saya tidak memiliki referensi untuk lembar alur nyata untuk quadrature secara umum, tetapi buku QUADPACK (bukan halaman manual Netlib, tetapi buku nyata) memiliki lembar alur untuk memilih rutin yang sesuai berdasarkan integral yang ingin Anda evaluasi. Buku ini juga menjelaskan pilihan-pilihan dalam algoritma yang dibuat oleh Piessens et al. untuk berbagai rutinitas.

Untuk integral dimensi rendah, biasanya digunakan untuk quadrature satu dimensi bersarang. Dalam kasus khusus integral dua dimensi (cubature), terdapat aturan integrasi untuk kasus yang berbeda dari domain integrasi. R. Cools telah mengumpulkan sejumlah besar aturan dalam Encyclopedia of Cubature Formula dan merupakan penulis utama paket Cubpack . Untuk integral dimensi tinggi, seseorang biasanya menggunakan metode tipe Monte Carlo. Namun, orang biasanya membutuhkan sejumlah besar evaluasi integrand untuk mendapatkan akurasi yang masuk akal. Untuk integral dimensi rendah, metode aproksimasi seperti quadrature / cubature / nested quadrature seringkali melebihi metode stokastik ini.

Referensi umum yang menarik:

Quadpack, Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: Paket subrutin untuk integrasi otomatis. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2
Metode Integrasi Numerik: Edisi Kedua, Ph. Davis dan Ph. Rabinowitz, 2007, Dover Books on Mathematics, ISBN 978-0486453392

— GertVdE
sumber

Respons yang bagus. Mengapa QUADPACK memilih metode 21 poin Gauss-Kronrod secara khusus? Kenapa angka ajaibnya?

— MRocklin

@MRocklin: Saya kira itu adalah trade-off yang bagus antara akurasi dan efisiensi: Anda tidak ingin berlebihan aturan quadrature Anda (mahal) tetapi Anda tidak ingin terlalu lemah juga (terlalu banyak subdivisi di bagian adaptif ). Agar lengkap: dalam rutinitas QAG, pengguna harus menentukan aturan quadrature; dalam QAGS (dengan ekstrapolasi), standarnya adalah aturan 21 poin tetapi ini dapat ditolak dengan menggunakan QAGSE rutin panggilan yang diperpanjang.

— GertVdE

@GertVdE Respon yang sangat bagus. Bisakah Anda menguraikan tentang penggunaan Clenshaw-Curtis untuk menangkap singularitas pertengahan interval, atau memberikan referensi? Saya belum pernah mendengar itu digunakan dengan cara ini sebelumnya, dan tidak dapat menemukan detail dari googling cepat. Terima kasih!

— OscarB

@OscarB: maaf atas keterlambatan yang lama, keluar tanpa akses internet (ah kehidupan yang baik). Lihat buku Quadpack §2.2.3.3 dan lebih lanjut; Branders, Piessens, "Perpanjangan quadrature Clenshaw-Curtis", 1975, J.Comp.Appl.Math., 1, 55-65; Piessens, Branders, "Evaluasi dan penerapan beberapa momen yang dimodifikasi", 1973, BIT, 13, 443-450; Piessens, Branders, "Komputasi integral berosilasi", 1975, J.Comp.Appl.Math., 1, 153-164. Jika Anda melakukan pencarian literatur untuk "Robert Piessens" di suatu tempat antara tahun 1972 dan 1980, Anda akan menemukan banyak makalah yang menarik.

— GertVdE