Apa yang paling canggih dalam perhitungan integral yang sangat berosilasi?

23

Apa state-of-the-art dalam pendekatan integral yang sangat berosilasi baik dalam satu dimensi dan dimensi yang lebih tinggi untuk presisi yang sewenang-wenang?

quadrature precision numerical-analysis

— Quadrescence
sumber

Itu buruk .. tidak ada metode umum sejauh ini .. Hanya banyak upaya tetapi mengharapkan mereka gagal sekarang dan kemudian ... Beberapa artikel mengklaim mereka memiliki jackpot, tetapi ketika itu terdengar terlalu bagus untuk menjadi kenyataan ... itu benar.

@Gigi: Selamat datang di SciComp! Komentar Anda agak kabur; dapatkah Anda menguraikan mengapa menurut Anda keadaan saat ini dalam pendekatan integral yang sangat berosilasi buruk?

— Geoff Oxberry

Memang benar bahwa belum ada "peluru ajaib" dalam perhitungan integral yang sangat berosilasi, tetapi kami puas dengan apa yang kami miliki, dan kami selalu berterima kasih jika itu berhasil.

— JM

19

Saya tidak sepenuhnya terbiasa dengan apa yang sekarang dilakukan untuk cubature (integrasi multidimensi), jadi saya akan membatasi diri ke rumus quadrature.

Ada sejumlah metode efektif untuk kuadratur integral osilasi. Ada metode yang cocok untuk integral osilasi terbatas, dan ada metode untuk integral osilasi terbatas.

Untuk integral osilasi tak terbatas, dua metode yang lebih efektif digunakan adalah metode Longman dan quadrature eksponensial ganda yang dimodifikasi karena Ooura dan Mori. (Tetapi lihat juga kedua makalah ini oleh Arieh Iserles.)

Metode Longman bergantung pada konversi integral osilasi ke dalam seri bolak-balik dengan memisahkan interval integrasi, dan kemudian menjumlahkan seri bolak-balik dengan metode transformasi urutan. Misalnya, ketika mengintegrasikan integral osilasi formulir

\int_{0}^{\infty} f (t) dosa t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

satu mengubah ini menjadi jumlah bolak-balik

\sum_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} f (t) dosa t d t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

Ketentuan jumlah bolak-balik ini dihitung dengan beberapa metode quadrature seperti skema Romberg atau Gaussian quadrature. Metode asli Longman menggunakan transformasi Euler , tetapi implementasi modern menggantikan Euler dengan metode percepatan konvergensi yang lebih kuat seperti transformasi Shanks atau transformasi Levin .

The quadrature eksponensial ganda metode, di sisi lain, membuat perubahan pintar variabel, dan kemudian menggunakan aturan trapesium untuk numerik mengevaluasi terpisahkan berubah.

Untuk integral osilasi terbatas, Piessens (salah satu kontributor QUADPACK) dan Branders, dalam dua makalah , merinci modifikasi quadrature Clenshaw-Curtis (yaitu, membangun ekspansi polinomial Chebyshev dari bagian noncillillatory dari integand). Metode Levin , di sisi lain, menggunakan metode kolokasi untuk quadrature. (Saya diberi tahu bahwa sekarang ada versi yang lebih praktis dari siaga lama, metode Filon, tapi saya tidak punya pengalaman dengannya.)

Ini adalah metode yang saya ingat begitu saja; Saya yakin saya sudah lupa metode bagus lainnya untuk integral osilasi. Saya akan mengedit jawaban ini nanti jika saya mengingatnya.

— JM
sumber

11

$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

Pada awalnya, metode integrasi osilasi difokuskan pada osilator tertentu. Seperti yang dikatakan JM , yang menonjol termasuk metode Filon dan metode Clenshaw-Curtis (keduanya terkait erat) untuk integral rentang terbatas, dan metode berbasis ekstrapolasi seri dan metode eksponensial ganda Ooura dan Mori untuk integral rentang tak hingga.

Baru-baru ini, beberapa metode umum telah ditemukan. Dua contoh:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
Metode Huybrechs dan Vandewalle didasarkan pada kelanjutan analitik di sepanjang jalur kompleks di mana integrand non-osilasi ( Huybrechs dan Vandewalle 2006 ).

Tidak ada perbedaan yang diperlukan antara metode untuk integral rentang terbatas dan tak hingga untuk metode yang lebih umum, karena transformasi pemadatan dapat diterapkan ke integral rentang tak terbatas, yang mengarah ke integral berosilasi kisaran terbatas yang masih dapat diatasi dengan metode umum, meskipun dengan osilator yang berbeda.

Metode Levin dapat diperluas ke beberapa dimensi dengan mengulangi dimensi dan cara lain, tetapi sejauh yang saya tahu semua metode yang dijelaskan dalam literatur sejauh ini memiliki titik sampel yang merupakan produk luar dari titik sampel satu dimensi atau beberapa hal lainnya. yang tumbuh secara eksponensial dengan dimensi, sehingga cepat lepas kendali. Saya tidak mengetahui metode yang lebih efisien untuk dimensi tinggi; jika ada yang dapat ditemukan sampel pada grid jarang dalam dimensi tinggi akan berguna dalam aplikasi.

Membuat rutinitas otomatis untuk metode yang lebih umum mungkin sulit di sebagian besar bahasa pemrograman (C, Python, Fortran, dll) di mana Anda biasanya berharap untuk memprogram integrand Anda sebagai fungsi / rutin dan meneruskannya ke rutin integrator, karena semakin banyak metode umum perlu mengetahui struktur integrand (bagian mana yang terlihat berosilasi, apa jenis osilator, dll) dan tidak dapat memperlakukannya sebagai "kotak hitam".

— Andrew Moylan
sumber

Kertas Huybrechs / Vandewalle adalah sesuatu yang belum pernah saya lihat, jadi +1 untuk itu. Tampaknya mirip dengan penelitian yang dilakukan oleh Temme dan lainnya untuk mengevaluasi fungsi-fungsi khusus, kecuali bahwa ekspansi asimptotik tidak terlibat dalam Huybrechs / Vandewalle. Selain itu, saya pikir pendekatan yang sama dilakukan untuk masalah pertama tantangan Trefethen yang terdiri dari ratusan digit oleh beberapa pemecah masalah.

— JM

2

Anda juga dapat memeriksa karya Marnix Van Daele dan rekan penulis. Lihat misalnya ini dan ini .

— GertVdE
sumber