Bisakah persamaan adveksi dengan kecepatan variabel konservatif?

Saya mencoba memahami persamaan advection dengan koefisien kecepatan variabel sedikit lebih baik. Khususnya saya tidak mengerti bagaimana persamaan bisa konservatif.

The persamaan adveksi ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

Mari kita menafsirkan sebagai konsentrasi beberapa spesies fisik ( ) atau kuantitas fisik lainnya yang tidak dapat dibuat atau dihancurkan. Jika kita mengintegrasikan ke domain kita maka kita harus mendapatkan konstanta, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(Inilah yang saya maksudkan dengan bersikap konservatif.)

Jika kita sekarang membiarkan kecepatan menjadi fungsi ruang (dan waktu), , maka aturan rantai harus diterapkan untuk memberi, $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Istilah terakhir "terlihat" seperti istilah sumber dan inilah yang menurut saya membingungkan. Ini akan menambah atau mengurangi kuantitas tergantung pada divergensi bidang kecepatan. $u$

Setelah pertanyaan ini , saya mengerti bagaimana memaksakan kondisi batas konservasi. Namun, untuk persamaan advection kecepatan velocity saya tidak mengerti bagaimana kondisi batas konservasi dapat diturunkan karena "istilah sumber" tambahan yang diperkenalkan dengan menerapkan aturan rantai. Bisakah persamaan ini konservatif? Jika demikian, bagaimana cara memperbaiki kondisi batas diterapkan?

advection conservation

— Boyfarrell
sumber

$\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

$\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

di mana istilah di sebelah kanan hanyalah perbedaan fluks antara batas kiri dan kanan.

$\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Jed Brown
sumber

Terima kasih atas jawaban yang sangat jelas, sekali lagi, Jed! Saya pikir saya akan mengajukan pertanyaan lanjutan untuk ini, tetapi pertama-tama perlu mencoba menerapkan saran Anda.

— boyfarrell