Tekanan sebagai Pengganda Lagrange

Dalam persamaan Navier-Stokes yang tidak dapat dimampatkan, istilah tekanan sering disebut sebagai pengganda Lagrange yang menegakkan kondisi tidak tertahankan.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

Dalam hal apa ini benar? Apakah ada rumusan persamaan Navier-Stokes yang tidak dapat dikompres sebagai masalah optimasi yang tunduk pada kendala ketidakterkompresan? Jika demikian, apakah ada analog numerik di mana persamaan aliran fluida yang tidak dapat dipecahkan diselesaikan dalam kerangka kerja optimasi?

— Ben
sumber

Ini paling mudah dilihat dengan mempertimbangkan persamaan Stokes stasioner yang setara dengan masalah Jika Anda menuliskan Lagrangian dan kemudian kondisi optimalitas dari masalah optimasi ini, Anda akan menemukan bahwa memang tekanannya adalah pengganda Lagrange.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Kesetaraan di antara masalah-masalah ini tidak dieksploitasi dalam skema numerik apa pun (yang saya ketahui) tetapi ini merupakan alat penting dalam analisis karena ini menunjukkan bahwa persamaan Stokes pada dasarnya adalah persamaan Poisson pada subruang linear. Hal yang sama berlaku untuk persamaan Stokes yang tergantung waktu (yang sesuai dengan persamaan panas pada subruang) dan dapat diperluas ke persamaan Navier-Stokes.

— Wolfgang Bangerth
sumber

Terima kasih atas jawaban yang bagus. Apakah Anda tahu jika formulasi ini dapat diperluas ke kasus tergantung waktu?

— Ben

Ya, seperti yang saya katakan itu mengarah pada persamaan panas pada subruang fungsi divergensi bebas.

— Wolfgang Bangerth

Maaf, saya seharusnya lebih jelas. Apakah ada cara untuk menyusun kembali persamaan Stokes yang bergantung waktu (atau Navier-Stokes) sebagai masalah optimisasi, mungkin dari fungsional yang terintegrasi dari waktu ke waktu?

— Ben

Bukan sebagai masalah optimisasi - solusi persamaan panas tidak meminimalkan apa pun (meskipun itu adalah titik stasioner dari fungsi Lagrangian). Tetapi Anda dapat merumuskan persamaan Stokes sebagai berikut: Temukan sehingga untuk semua tunduk pada batasan yang . Perhatikan bahwa saya telah memilih ruang uji yang lebih kecil daripada ruang uji coba sehingga sisi kiri dan kanan persamaan variasional tidak akan sama. Perbedaannya adalah tekanan.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth