Apa prinsip dasar di balik pembuatan jala bergerak?

Saya tertarik menerapkan mesh bergerak untuk masalah adveksi-difusi. Metode Mesh Bergerak Adaptif memberikan contoh yang baik tentang bagaimana melakukan ini untuk persamaan Burger dalam 1D menggunakan finite-difference. Apakah seseorang dapat menawarkan contoh yang berhasil untuk menyelesaikan persamaan difusi-difusi 1D menggunakan perbedaan-terbatas dengan mesh bergerak?

Misalnya, dalam bentuk konservatif persamaannya adalah,

di mana adalah kecepatan (fungsi ruang). Kondisi awal u ( 0 , x ) dapat menentukan (misalnya) spesies aliran yang bergerak dari kiri ke kanan (misalnya sepanjang pipa) di mana kondisi awal memiliki gradien yang tajam.$a(x)$$u(0,x)$

Bagaimana seharusnya masalah equidistribusi untuk mesh bergerak dapat diselesaikan (mungkin dengan algoritma De Boor atau pendekatan lain)? Saya ingin menerapkan ini sendiri dengan Python jadi jika jawaban Anda dapat segera diterjemahkan ke dalam kode, semakin baik!

Pertanyaan lama sebelum hadiah

1. Apa pendekatan dasar untuk menghasilkan mesh adaptif berdasarkan sifat-sifat sistem? Haruskah saya menggunakan fluks sebagai ukuran kemiringan besar?
2. Karena saya mencari solusi berulang (sapuan waktu). Saya membayangkan penting untuk melakukan interpolasi dari grid lama ke grid baru, apa pendekatan yang biasa?
3. Saya akan sangat tertarik untuk melihat contoh yang berhasil untuk masalah sederhana (seperti persamaan advection).

Sedikit latar belakang tentang masalah spesifik. Saya mensimulasikan sistem persamaan 1D,

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

Himpunan persamaan menggambarkan masalah adveksi-difusi dua spesies di mana persamaan ketiga berpasangan dengan dua lainnya. Solusinya berubah dengan cepat di dekat pusat grid saya, lihat di bawah (ini adalah ilustrasi bukan perhitungan),

Perhatikan bahwa skala log pada grafik yang lebih rendah, solusi untuk dan v bervariasi berdasarkan urutan besarnya. Pada grafik atas ( w ) ada diskontinuitas di tengah. Saya memecahkan sistem di atas dengan angin pasang adaptif di mana diskritisasi dapat beradaptasi dari pusat ke angin dominan tergantung pada nilai lokal dari nomor Péclet$u$$v$$w$ . Saya memecahkan sistem secara implisit dengan integrasi trapesium dalam waktu ("Crank-Nicolson").

Saya tertarik menerapkan kisi adaptif untuk masalah ini. Saya pikir ini penting karena selain itu detail bentuk puncak ( $w$ ) parameter bisa hilang. Tidak seperti pertanyaan ini , saya ingin menerapkan, semoga sederhana, algoritma untuk generasi mesh.

Karena ini adalah masalah adveksi-difusi, salah satu bisa membayangkan skema jala adaptif didasarkan pada fluks dari dan v pada batas sel. Karena ini akan menunjukkan di mana nilai berubah dengan cepat. Puncak w juga sesuai dengan di mana fluks adalah yang terbesar.$u$$v$$w$

Grid adaptif adalah jaringan grid yang secara otomatis mengelompokkan titik-titik grid di daerah gradien bidang aliran tinggi; ia menggunakan solusi dari properti bidang aliran untuk menemukan titik-titik grid di bidang fisik. Kisi adaptif berevolusi dalam langkah-langkah waktu bersama dengan solusi tergantung waktu dari persamaan bidang aliran yang mengatur, yang menghitung variabel bidang aliran dalam langkah-langkah waktu. Selama penyelesaian solusi, titik-titik grid dalam bidang fisik bergerak sedemikian rupa untuk 'beradaptasi' untuk daerah dengan gradien bidang aliran besar. Oleh karena itu, titik grid aktual dalam bidang fisik terus bergerak selama solusi dari bidang aliran, dan menjadi diam hanya ketika solusi aliran mendekati kondisi mapan.

Adaptasi grid digunakan untuk jenis masalah yang stabil dan tidak stabil. Jika terjadi masalah aliran yang stabil, grid diadaptasi setelah jumlah iterasi yang ditentukan sebelumnya dan adaptasi grid akan berhenti pada titik ketika solusi terkonvergensi. Dalam hal solusi akurat waktu, gerakan dan penyempurnaan titik jaringan dilakukan bersamaan dengan solusi akurat waktu untuk masalah fisik. Ini membutuhkan waktu yang akurat untuk penggabungan PDE dari masalah fisik dan yang menggambarkan pergerakan kisi atau adaptasi kisi.

Untuk perhitungan ketergantungan konfigurasi baru pada pedoman praktik terbaik untuk pembuatan mesh dan pengalaman sebelumnya membuat pintu terbuka untuk sejumlah besar kesalahan numerik. Metode adaptasi grid dapat menghasilkan peningkatan substansial dalam kualitas solusi dan menjanjikan hasil yang lebih baik karena tidak ada batasan yang menentukan batas resolusi grid yang dapat dicapai.

$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$tipe : -

$h$

$r$jenis : -

Alih-alih membuat perubahan topologi lokal pada mesh dan konektifitasnya, metode r-adaptif membuat perubahan lokal pada resolusi dengan memindahkan lokasi dari jumlah total poin mesh yang tetap.

$p$tipe : -

Sangat populer metode adaptasi grid dalam pendekatan elemen hingga daripada volume hingga atau metode elemen hingga. Ini mengurangi kesalahan dalam solusi dengan pengayaan polinomial fungsi interpolasi dengan urutan elemen geometris yang sama. Di sini tidak ada mesh baru, geometri yang akan dihitung dan keuntungan lain dari metode ini adalah dapat lebih baik memperkirakan batas tidak teratur atau melengkung dengan sensitivitas kurang. rasio aspek dan condong. Karena ini sangat terkenal dalam aplikasi struktural.

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ Pendekatan berbasis fitur yang kira-kira sebagian besar digunakan adaptasi grid menggunakan fitur solusi sebagai kekuatan pendorong untuk adaptasi grid. Ini sering menggunakan fitur dari solusi seperti gradien solusi dan kelengkungan solusi. Daerah aliran yang memiliki gradien solusi besar diselesaikan dengan lebih banyak titik dan daerah dengan signifikansi minimal yang kasar. Ini mengarah pada penyempurnaan wilayah yang secara fisik spesifik seperti lapisan batas, guncangan, garis pemisah, titik stagnasi, dll. Dalam beberapa kasus, penyempurnaan berbasis gradien sebenarnya dapat meningkatkan kesalahan solusi sehingga ada beberapa masalah mengenai adaptasi berbasis fitur seperti ketahanan dan lainnya.

$2.Truncation-error-based-adaption$ Kesalahan pemotongan adalah perbedaan antara persamaan diferensial parsial dan persamaan diskritasinya. Kesalahan pemotongan adalah pendekatan yang lebih cocok untuk menemukan di mana adaptasi harus terjadi. Konsep umum di balik adaptasi berbasis kesalahan pemotongan adalah untuk menyamakan kesalahan pada domain simulasi untuk mengurangi kesalahan diskritisasi total. Untuk persamaan sederhana, evaluasi kesalahan pemotongan adalah pekerjaan yang paling mudah, tetapi untuk skema yang rumit, pendekatan yang berbeda sangat diperlukan untuk tujuan itu. Untuk skema diskritisasi sederhana, kesalahan pemotongan dapat dihitung secara langsung. Untuk skema yang lebih kompleks di mana evaluasi langsung pemotongan sangat sulit, diperlukan pendekatan untuk memperkirakan kesalahan pemotongan.

$3.Adjoint-based-adaptation$ Pendekatan selanjutnya yang menjanjikan adalah pendekatan adjoint. Sangat bagus dalam memperkirakan kontribusi lokal setiap sel atau elemen terhadap kesalahan diskritisasi dalam setiap solusi fungsional yang menarik seperti lift, drag, dan momen. Jadi ini berguna dalam adaptasi grid yang ditargetkan sesuai kebutuhan solusi sehingga itu juga disebut adaptasi berorientasi tujuan.

Semua yang terbaik!

$References:-$

[1] Fidkowski Krzysztof J. dan Darmofal David L. Ulasan dari es-timasi kesalahan berbasis output dan adaptasi mesh dalam dinamika fluida komputasi. Jurnal AIAA, 49: 673–694, 2011.

[2] John Tannehill Richard Pletcher dan Dale Anderson. Mekanika fluida komputasi dan perpindahan panas. Taylor & Francis, 1997.

[3] JD Jr. Anderson. Komputasi cairan fluida: Dasar-dasar dengan aplikasi. Mcraw Hill Inc., 1995.

[4] Roy Christopher J. Strategi untuk menggerakkan adaptasi mesh dalam cfd. Dalam Pertemuan AIAA Aerospace Sciences ke-47 Termasuk Forum New Horizons dan Posisi Aerospace, 2009.

[5] McRae Scott D. memperbaiki algoritma dan masalah adaptasi grid. Metode komputasi dalam mekanika dan teknik terapan, 189: 1161-1182, 2000.

[6] Ivanenko Sergey A. Azarenok Boris N. dan Tang Tao. Metode redistribusi mesh adapatif berdasarkan skema godunovs. Comm. matematika sci., 1: 152–179.

[7] Ahmadi Majid dan Ghaly Wahid S. Simulasi aliran kasat mata dalam kaskade menggunakan metode volume terbatas dengan adaptasi solusi. Dalam CASI 6 Aerodinamika Simposium, 1997.

[8] Jasak H. dan Gosman AD Kontrol resolusi otomatis untuk metode volume terbatas, bagian 1: perkiraan kesalahan a-posteriori. Perpindahan Panas Numerik, Taylor & Francis, 38: 237–256, 2000.

[9] Jasak H. dan Gosman AD Kontrol resolusi otomatis untuk metode volume-terbatas, bagian 2: Perbaikan dan penyesuaian mesh adaptif. Numerical Heat Transfer, Taylor & Francis, 38: 257-271, 2000.

[10] Thompson David S. Soni Bharat K., Koomullil Roy dan Thornburg Hugh. Solusi strategi kisi adaptif berdasarkan redistribusi titik. Metode komputasi dalam mekanika dan teknik terapan, 189: 1183-1204, 2000.

[11] Venditti David A. dan Darmofal David L. Mengukur estimasi kesalahan dan adaptasi kisi untuk output fungsional: Aplikasi untuk aliran kuasi satu dimensi. Jurnal Fisika Komputasi, 164: 204-227, 2000.

[12] Balasubramanian R. dan Newman JC Perbandingan adaptasi grid berbasis adjoint dan fitur untuk output fungsional. Jurnal internasional untuk metode numerik fluida, 53: 1541–1569, 2007.

[13] Hartmann Ralf. Estimasi kesalahan dan adaptasi berbasis adjoint dalam aerodinamika. Dalam Konferensi Eropa tentang Dinamika Cairan Komputasi, 2006.

Saya (masih) mencari jawaban yang bagus untuk ini. Saya bekerja dengan kisi adaptif multi-level di mana saya menggunakan semacam kriteria untuk penyempurnaan. Orang yang melakukan FEM menikmati, agak murah (secara komputasi), perkiraan kesalahan yang ketat yang mereka gunakan sebagai kriteria penyempurnaan. Bagi kami yang melakukan FDM / FVM, saya belum beruntung menemukan perkiraan seperti itu.

Dalam konteks ini, jika Anda ingin keras tentang perbaikan, yaitu memperbaiki berdasarkan beberapa estimasi kesalahan aktual, satu-satunya (hampir) pilihan Anda adalah Richardson Extrapolasi. Inilah yang, misalnya, digunakan oleh Berger dan Oliger (1984) untuk pemecah blok terstruktur mereka, AMR hiperbolik. Metodologi ini bersifat umum dalam arti bahwa Anda dapat menggunakan Richardson Extrapolation untuk hampir semua masalah. Satu-satunya masalah dengan itu adalah bahwa itu mahal, terutama untuk masalah sementara.

Selain Richardson Extrapolasi, semua kriteria lain (menurut pendapat saya yang sederhana) hanyalah ad hoc. Ya, Anda dapat menetapkan ambang tertentu pada "jumlah bunga" dan memperbaiki berdasarkan itu. Anda bisa menggunakan fluks atau turunan dari jumlah tertentu untuk mengingatkan beberapa gradien besar dan menggunakannya. Atau jika Anda melacak suatu antarmuka, Anda dapat memperbaiki berdasarkan seberapa dekat Anda dengan antarmuka. Semua ini sangat murah, tentu saja, tetapi tidak ada yang ketat tentang mereka.

Sedangkan untuk interpolasi antar grid, Anda biasanya membutuhkan sesuatu yang setidaknya seakurat yang Anda pecahkan. Kadang-kadang dimungkinkan untuk membangun interpolasi yang memenuhi sifat-sifat tertentu, misalnya mengkonservasi massa atau cembung sehingga tidak menimbulkan ekstrema baru. Saya telah mencatat bahwa sifat terakhir ini terkadang sangat penting untuk stabilitas keseluruhan skema.

Jika memang 1D maka Anda mungkin tidak akan memerlukan mesh adaptif di sini, untuk masalah sederhana seperti itu Anda mungkin dapat menyelesaikan semua yang Anda butuhkan dengan grid statis, dengan kekuatan komputasi dari workstation modern. Tetapi ini adalah strategi yang sangat masuk akal, dalam proses integrasi waktu, untuk mengidentifikasi area-area secara berkala di mana resolusi numerik ditekankan, tambahkan titik-titik grid di sana (dan hapus titik-titik grid dari area-area yang terlalu diselesaikan), dan interpolasi ke grid baru. Tapi ini tidak boleh dilakukan terlalu sering karena interpolasi bisa mahal, dan itu akan menambah kesalahan numerik dalam keseluruhan perhitungan.