Apa perbedaan antara FEM implisit dan FEM eksplisit?

10

Apa perbedaan antara FEM eksplisit dan FEM implisit? Menurut posting di sini , tampaknya satu-satunya perbedaan adalah apakah integrasi waktu implisit atau eksplisit digunakan.

Seperti yang saya ingat dari satu buku yang saya baca, FEM implisit adalah di mana massa tidak disamakan dengan node.

Apa definisi pasti FEM eksplisit dan implisit?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Fei Zhu
sumber

7

Metode FEM untuk masalah sementara biasanya menggunakan metode garis, yaitu diskritisasi spasial dipisahkan dari diskritisasi waktu: mana adalah vektor jumlah nodal, diasumsikan sebagai fungsi waktu yang tidak diketahui. Berdasarkan asumsi ini, ruang-waktu PDE di direduksi (diskritkan) menjadi ODE di sendiri menggunakan mesin FEM biasa untuk masalah statis.

{kamu}^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Seperti yang sudah ditunjukkan oleh jawaban lain, kita berbicara tentang FEM eksplisit atau implisit dengan mengacu pada skema integrasi waktu dari ODE ini.

Dengan mengacu pada masalah mekanika kontinum (tanpa redaman), kita berakhir dengan sistem ODE seperti mana dan adalah gaya setara nodal internal dan eksternal. Untuk masalah linear .

M. \ddot{U} (t) + F_{saya} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

Dengan risiko terlalu menyederhanakan, mari kita asumsikan bahwa dalam skema eksplisit Anda hanya perlu menyelesaikan untuk yang merupakan sepele jika matriks massa disamakan. Sebaliknya dalam metode implisit Anda perlu menyelesaikan persamaan (non) -linear . $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M. \ddot{U} (t) = - F_{saya} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Untuk sepenuhnya menjawab pertanyaan Anda: eksplisit / implisit mengacu pada solusi sistem ODE dan bukan sifat dari matriks massa. Tentu saja setiap implementasi yang wajar dari skema eksplisit membutuhkan matriks massa untuk dikelompokkan, jika tidak, keuntungan dari metode ini akan hilang dalam solusi untuk . Sebaliknya untuk skema implisit Anda dapat memiliki matriks massa yang disamakan dan konsisten. $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
sumber

7

Ya itu adalah integrasi waktu tetapi juga berarti:

Anda harus menyelesaikan sistem linier dari tipe Ax = b dalam skema implisit di mana seperti dalam skema eksplisit Anda tidak, karena matriks massa yang disamakan hanya memiliki entri diagonal sehingga inv (M) adalah sepele.
Langkah waktu Anda dalam skema eksplisit dibatasi oleh kriteria CFL untuk stabilitas. Skema implisit stabil tanpa syarat (meskipun dalam praktiknya Anda masih memerlukan langkah waktu yang wajar untuk akurasi)

Biasanya masalah di mana efek inertial penting (misalnya, perambatan gelombang) diselesaikan dengan skema eksplisit di mana sebagai masalah quasi-statis biasanya menggunakan skema implisit. Namun ada beberapa pengecualian.

— stali
sumber

Dalam skema implisit tidak hanya sistem persamaan linear muncul, tetapi (misalnya dalam pemodelan fluida) sistem persamaan non-linear kebetulan diperoleh.

— Misery

5

Istilah "eksplisit" dan "implisit" muncul dalam diskritisasi waktu, dan istilah-istilah ini sudah digunakan dalam literatur tentang persamaan diferensial biasa (yaitu, mereka tidak spesifik untuk metode elemen hingga). Akan bermanfaat untuk melihat buku yang membahas solusi numerik ODE, mis. Hairer & Wanner.

— Wolfgang Bangerth
sumber