Apa perbedaan antara Parareal, PITA, dan PFASST?

Algoritma Parareal, PITA, dan PFASST semuanya adalah teknik lintas domain untuk memparalelkan solusi dari masalah yang bergantung pada waktu.

1. Apa prinsip panduan di balik metode ini?

2. Apa perbedaan utama di antara mereka?

3. Dapatkah saya mengatakan bahwa satu didasarkan pada yang lain? Bagaimana?

4. Bagaimana dengan aplikasi mereka?

Saya tahu tidak akan ada jawaban untuk pertanyaan "mana yang lebih baik?", Tetapi pemahaman yang baik tentang area aplikasi mereka dan kondisi validasi sangat membantu saya.

$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$$F$

$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

Metode PITA sangat mirip dengan Parareal, tetapi melacak pembaruan sebelumnya dan hanya memperbarui kondisi awal pada setiap prosesor dengan cara yang mengingatkan pada metode ruang bagian Krylov. Ini memungkinkan PITA untuk menyelesaikan persamaan linear orde kedua yang Parareal tidak bisa.

Metode PFASST berbeda dari metode Parareal dan PITA dalam dua cara mendasar: pertama, metode ini bergantung pada skema loncatan waktu Spectral Deferred Correction (SDC), dan yang kedua menggabungkan koreksi Skema Pendekatan Penuh ke propagator kasar, dan pada kenyataannya PFASST dapat menggunakan hierarki penyebar (bukan hanya dua). Menggunakan SDC memungkinkan iterasi paralel-waktu dan SDC digabungkan yang menghilangkan kendala efisiensi Parareal dan PITA. Menggunakan koreksi FAS memungkinkan banyak fleksibilitas ketika membangun penyebar kasar PFASST (membuat penyebar kasar semurah mungkin membantu meningkatkan efisiensi paralel). Strategi kasar meliputi: waktu-kasar (lebih sedikit SDC node), ruang-kasar (untuk PDE berbasis grid), operator kasar, dan fisika berkurang.

Saya harap ini menguraikan dasar-dasar, perbedaan, dan persamaan antara algoritma. Silakan lihat referensi dalam posting ini untuk lebih jelasnya.

Mengenai aplikasi, metode telah diterapkan pada berbagai persamaan (orbit planet, Navier-Stokes, sistem partikel, sistem kacau, dinamika struktural, aliran atmosfer dll, dll). Saat menerapkan paralelisasi waktu untuk masalah tertentu, Anda harus memvalidasi metode dengan cara yang sesuai untuk masalah yang sedang dipecahkan.