Menerapkan syarat batas Dirichlet ke persamaan Poisson dengan metode volume hingga

Saya ingin tahu bagaimana kondisi Dirichlet biasanya diterapkan ketika menggunakan metode volume hingga pada grid non-seragam berpusat sel,

Sisi kiri dari grid berpusat sel.

Implementasi saya saat ini hanya memaksakan kondisi batas saya memperbaiki nilai sel pertama,

ϕ_{1} = g_{D} (x_{L.})

$\phi_1 = g_D(x_L)$

di mana adalah variabel solusi dan adalah nilai kondisi batas Dirichlet di lhs domain ( NB ). Namun hal ini tidak benar karena syarat batas harus memperbaiki nilai sel wajah tidak nilai dari sel itu sendiri. Yang benar-benar harus saya terapkan adalah, $\phi$ $g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

ϕ_{L.} = g_{D} (x_{L.})

$\phi_{L} = g_D(x_L)$

Sebagai contoh, mari kita pecahkan persamaan Poisson,

0 = (ϕ_{x})_{x} + ρ (x)

$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$

dengan kondisi awal dan kondisi batas,

ρ = - 1 g_{D} (x_{L.}) = 0 g_{N} (x_{R}) = 0

$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$

(di mana adalah kondisi batas Neumann di sisi kanan). $g_N(x_R)$

Solusi numerik dari persamaan Poisson

Perhatikan bagaimana solusi numerik telah menetapkan nilai variabel sel ke nilai kondisi batas ( ) di sisi kiri. Ini memiliki pengaruh menggeser keseluruhan solusi ke atas. Efeknya dapat diminimalkan dengan menggunakan sejumlah besar titik mesh tetapi itu bukan solusi yang baik untuk masalah tersebut. $g_D(x_L)=0$

Pertanyaan

Dengan cara apa syarat batas Dirichlet diterapkan ketika menggunakan metode volume hingga? Saya berasumsi saya perlu memperbaiki nilai dengan menginterpolasi atau mengekstrapolasi menggunakan (titik hantu) atau sehingga garis lurus yang melewati titik-titik ini memiliki nilai yang diinginkan pada . Bisakah Anda memberikan panduan atau contoh bagaimana melakukan ini untuk mesh berpusat sel yang tidak seragam? $\phi_1$ $\phi_0$ $\phi_2$ $x_L$

Memperbarui

Ini usaha saya menggunakan pendekatan sel hantu yang Anda sarankan, apakah itu masuk akal?

Persamaan untuk sel adalah (di mana mewakili fluks dari ), $\Omega_1$ $\mathcal{F}$ $\phi$

F_{3 / 2} - F_{L.} = \bar{ρ}

$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$

Kita perlu menulis dalam hal kondisi batas menggunakan sel hantu , $\mathcal{F}_{L}$ $\Omega_0$

F_{L.} = \frac{ϕ_{1} - ϕ_{0}}{h_{-}} [1]

$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$

Tetapi pada akhirnya kita perlu menghilangkan istilah dari persamaan. Untuk melakukan ini kita menulis persamaan kedua yang merupakan interpolasi linier dari pusat sel ke pusat sel . Dengan mudah baris ini melewati , jadi ini adalah bagaimana kondisi Dirichlet memasuki kebijaksanaan (karena nilai pada titik ini hanya ), $\phi_0$ $\Omega_0$ $\Omega_1$ $x_L$ $g_D(x_L)$

g_{D} (x_{L.}) = \frac{h_{1}}{2 h_{-}} ϕ_{0} + \frac{h_{0}}{2 h_{-}} ϕ_{1} [2]

$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$

Menggabungkan persamaan 1 dan 2 kita dapat menghilangkan dan menemukan ekspresi untuk dalam hal dan , $\phi_0$ $\mathcal{F}_L$ $\phi_1$ $g_D(x_L)$

F_{L.} = \frac{1}{h_{-}} (ϕ_{1} - \frac{1}{h_{1}} (2 g_{D} h_{-} - h_{1} ϕ_{1}))

$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$

Dengan asumsi bahwa kita bebas untuk memilih volume sel hantu kita dapat menetapkan untuk diberikan, $h_0 \rightarrow h_1$

F_{L.} = - \frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 ϕ_{1}}{h_{-}}

$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$

Ini dapat disederhanakan lebih lanjut karena jika sel dan memiliki volume yang sama maka kita dapat mengatur akhirnya memberi, $\Omega_0$ $\Omega_1$ $h_{-}\rightarrow h_1$

F_{L.} = \frac{2}{h_{1}} (ϕ_{1} - g_{D})

$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$

Namun, pendekatan ini telah memulihkan definisi yang tidak stabil sehingga saya tidak terlalu yakin bagaimana untuk melanjutkan? Apakah saya salah menafsirkan saran Anda (@Jan)? Yang aneh adalah yang sepertinya berfungsi, lihat di bawah,

Lihat di bawah, ini berfungsi,

Komputasi yang diperbarui, pendekatan baru sangat cocok dengan pendekatan analitis.

boundary-conditions finite-volume poisson

— Boyfarrell
sumber

Benar, derivasi Anda benar. Dan itu benar-benar menyerupai apa yang saya sebut (**) dalam jawaban saya. Dan, dengan demikian, terbukti stabil. Saya akan menambahkan komentar dalam jawaban saya.

— Jan

Juga, sebagai pernyataan umum, hasil stabilitas biasanya kondisi yang memadai. Yaitu jika suatu skema tidak memenuhi persyaratan, dalam beberapa situasi, mungkin menghasilkan hasil yang dapat diandalkan.

— Jan

Jawaban:

{\bar{Ω}}_{saya} \cap Γ_{D} = 0 (*)

$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$

R^{n - 1}

$\mathbb R^{n-1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega \subset \mathbb R^n$

(\frac{d ϕ}{d x})_{1 / 2} = \frac{2}{h_{1}} (ϕ_{1} - ϕ_{1 / 2}) (* *)

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$

(* *)

$(**)$

(* *)

$(**)$

Stabilitas dan konvergensi (urutan pertama dalam max-norm diskrit) untuk masalah poisson telah dibuktikan oleh Grossmann & Roos untuk kisi-kisi, dengan sel batas yang berbeda dengan "pusat" mereka pada batas aktual seperti yang diilustrasikan dalam gambar saya untuk kasus 1D. masukkan deskripsi gambar di sini

Di sini, hasil bagi diferensial pada antarmuka didekati secara langsung.

Saya akan mengatakan sel hantu adalah pendekatan yang umum, karena dua alasan.

Mereka meniru situasi stabil yang dijelaskan dalam gambar saya tetapi dengan kondisi batas yang diinterpolasi
Mereka hanya terikat pada batas fisik. Dengan demikian, seseorang dapat menggunakan triangulasi domain, apa yang juga menguntungkan, karena seseorang sering juga memiliki BC alami yang secara langsung dikenakan pada antarmuka [ Grossmann & Roos , p. 101].

$\phi_0$ $\phi_0$ $\phi_1$ $g_D$

— Jan
sumber

Terima kasih Jan, itu sangat menarik. Itu tentu akan meniru pengalaman saya dengan pendekatan tertentu yang tidak stabil. Apakah saya benar, jika saya menggunakan pendekatan sel hantu saya tidak perlu menggeser sel terakhir sehingga pusatnya ada di batas? Saya juga punya masalah dengan konsep menggeser sel batas; bukankah itu menyiratkan bahwa sel itu memiliki volume nol?

— boyfarrell

h_{Γ}

$h_\Gamma$

h_{Γ} \to 0

$h_\Gamma \to 0$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{0}

$\phi_0$

Bisakah ketergantungan pada nilai sel hantu dihilangkan dengan pendekatan ini? Saya kira tidak harus dimasukkan ke dalam persamaan tetapi hanya menggunakan alat untuk menulis kondisi batas. Mengenai sel batas "bergeser". Sepertinya titik itu menggunakan perbedaan hingga daripada metode volume hingga. Apakah itu akurat?

— boyfarrell

Baik, saya mengerti! Terima kasih. Ada salah ketik. dalam paragraf ke-2 "Jadi, jika dalam pengaturan Anda, pendekatan [eqn] tidak stabil, ini bukan kontradiksi dengan hasil stabilitas yang diketahui." The "tidak" harus "dalam" . Ini membalik arti kalimat yang berarti kebalikan dari apa yang Anda inginkan (saya pikir)!

— boyfarrell

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$ $x_0$ $x_i$ $\phi_i$ $\phi_1$ $\phi_2$ $\phi_1$

Apa yang Anda temukan di sini adalah mengapa volume hingga tidak sering digunakan untuk persamaan eliptik yang menimbulkan kondisi Dirichlet. Mereka digunakan untuk undang-undang konservasi di mana kondisi yang lebih alami dinyatakan dalam fluks.

— Wolfgang Bangerth
sumber

\frac{d^{2} ϕ}{d x^{2}} = f

$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$

(\frac{d ϕ}{d x})_{3 / 2} - (\frac{d ϕ}{d x})_{1 / 2} = \int_{x_{1 / 2}}^{x_{3 / 2}} f d x

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$

(\frac{d ϕ}{d x})_{3 / 2} = \frac{ϕ_{2} - ϕ_{1}}{h_{+}}

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$

$(d\phi/dx)_{1/2}$ $\phi_{1/2}$ $x_{1/2}$ $x_1$ $x_2$ $h$

(\frac{d ϕ}{d x})_{1 / 2} = \frac{1}{h} (- \frac{1}{3} ϕ_{2} + 3 ϕ_{1} - \frac{8}{3} ϕ_{1 / 2})

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$

(\frac{d ϕ}{d x})_{1 / 2} = \frac{2}{h_{1}} (ϕ_{1} - ϕ_{1 / 2})

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$

Tentu saja, satu hal yang juga perlu diperiksa adalah stabilitas diskritisasi Anda dengan pendekatan orde kedua di perbatasan. Dari atas kepala saya, saya tidak tahu apakah itu akan stabil dikombinasikan dengan pendekatan urutan kedua terpusat di interior. Analisis stabilitas matriks akan memberi tahu Anda dengan pasti. (Saya hampir yakin bahwa pendekatan urutan pertama pada batas akan stabil.)

Anda menyebutkan kemungkinan menggunakan poin hantu. Ini mengarah ke masalah yang Anda butuhkan untuk memperkirakan dari interior ke titik hantu dan menggunakan bc dalam proses. Saya curiga, tetapi belum "membuktikannya", bahwa setidaknya beberapa perawatan titik hantu setara dengan menggunakan jenis pendekatan yang telah saya uraikan di atas.

Semoga ini bisa membantu sedikit.

— Brian Zatapatique
sumber

Halo Brian. Saya tidak berpikir itu mungkin untuk menerapkan kondisi batas Dirichlet menggunakan bentuk fluks (yaitu lemah). Sebenarnya saya menanyakan pertanyaan itu beberapa bulan yang lalu, scicomp.stackexchange.com/questions/7777/... Saya mencoba mengimplementasikan sesuatu seperti ini pada waktu itu, tetapi, untuk alasan apa pun, implementasinya tidak stabil dan selalu gagal. Apakah Anda tahu referensi di mana kondisi Dirichlet diterapkan pada persamaan Poisson, saya tertarik untuk mengetahui apa itu standar ? Mungkin ini tidak dilakukan untuk persamaan elips?

— boyfarrell

Saya tidak tahu standar, tetapi saya tidak bisa membayangkan bahwa semua implementasi seperti itu tidak stabil. Apakah Anda mencoba analisis matriks? Seharusnya sangat sederhana untuk dilakukan dalam kasus ini. Orang-orang memecahkan persamaan Navier-Stokes dengan perawatan titik hantu dan perawatan seperti yang di atas. (Tentu saja, ada efek kental tidak mendominasi sedemikian rupa sehingga Anda dapat menganggap persamaan Poisson sebagai model yang baik.) Mungkin referensi ini membantu: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ … Dan nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf

— Brian Zatapatique

Halo Brian. Tidak, saya tidak mencoba analisis matriks. Sejujurnya saya tidak terlalu yakin bagaimana melakukannya. Saya akan punya waktu minggu depan untuk meninjau kembali masalah ini sehingga saya dapat memposting pertanyaan baru kalau begitu!

— boyfarrell

Pemahaman saya juga bahwa ekstrapolasi titik hantu (kuadrat) akhirnya menjadi setara dengan diskritisasi perbedaan terbatas Finley-Weller klasik terbatas untuk kondisi batas Dirichlet tidak beraturan (melengkung), misalnya seperti yang dijelaskan pada p74 dari Morton dan Meyers. Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial Parsial (2nd edisi). (Versi ekstrapolasi linier setara dengan metode yang lebih sederhana dari Gibou et al. Sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773 ) Juga: ekstrapulan linier dan kuadratik memberikan solusi urutan ke-2 yang akurat, tetapi linier hanya gradien urutan pertama.

— batty