Mekanika solid dengan perbedaan terbatas: Bagaimana menangani "sudut sudut"?

Saya punya pertanyaan mengenai kondisi batas pengkodean untuk mekanika solid (elastisitas linier). Dalam kasus khusus saya harus menggunakan perbedaan hingga (3D). Saya sangat baru dalam topik ini, jadi mungkin beberapa pertanyaan berikut mungkin sangat mendasar.

Untuk mengarah ke masalah spesifik saya, pertama-tama saya ingin menunjukkan apa yang sudah saya terapkan (Agar tetap jelas, saya hanya akan menggunakan 2D).

1.) Saya memiliki diskritisasi $div(\sigma) = 0$ , yang menunjukkan komponen pertama dari divergensi $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Saya menggunakan grid non-staggered, jadi Ux dan Uy didefinisikan di tempat yang sama.

2.) Langkah selanjutnya adalah memperlakukan batas, di mana saya menggunakan "node hantu". Menurut $\sigma \bullet n = t^*$ , di mana $t^*$ adalah tekanan pada batas.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Saya pikir sampai sekarang semua langkah saya tampaknya logis, jika tidak, tolong perbaiki saya . Tapi sekarang ada juga "sudut sudut", di mana saya tidak memiliki petunjuk bagaimana menanganinya.

$div(\sigma) = 0$

Jadi pertanyaan saya adalah apa cara yang benar untuk menangani "sudut sudut" ini? Saya senang untuk setiap ide.

Saya memiliki masalah serupa dengan kondisi batas sudut, terutama dalam menyelesaikan masalah pelat struktural dengan tekanan transversal yang diterapkan secara seragam. Khususnya jika seseorang mencoba untuk mendapatkan beban Geser di tepi (termasuk sudut). Beban geser adalah fungsi dari ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Menggunakan skema perbedaan pusat ini menyebabkan seseorang membutuhkan simpul "hantu" yang diagonal ke simpul sudut untuk menentukan turunan ini. Saya tidak percaya bahwa rata-rata berdasarkan node yang berdekatan adalah tepat. Apa yang saya lakukan adalah menggunakan momen memutar Mxy yang saya hitung di sudut sudut dan menyamakannya dengan "molekul" perbedaan hingga untuk momen memutar sebagai fungsi dari perpindahan. Karena saya sudah tahu perpindahan dari semua node yang berdekatan lainnya (berdasarkan kondisi batas di sepanjang tepi piring) itu adalah masalah sederhana untuk dipecahkan untuk simpul sudut "rumit" ini. Semoga ini bisa membantu.

Anda mungkin mencoba memecahkan sistem persamaan yang tidak memiliki solusi unik. Bayangkan Anda memiliki banyak node yang terhubung oleh pegas, mengambang di ruang angkasa, dan Anda ingin menemukan posisi kesetimbangan dari setiap node. Jika sistem tidak berlabuh pada sesuatu yang diperbaiki (atau tidak ada gaya yang diterapkan), ada banyak solusi yang mungkin. Salah satu solusi selalu dapat diterjemahkan atau diputar dan itu masih merupakan solusi. Sudahkah Anda mencoba memperbaiki perpindahan di satu sudut simpul untuk menghilangkan terjemahan, dan memperbaiki satu perpindahan di sudut lain untuk menghilangkan rotasi?

Saya pernah mencoba pendekatan ini memperbaiki beberapa node dan menyesuaikan kekuatan normal pada yang lain, tetapi tampaknya memfokuskan sejumlah besar kekuatan pada node batas individu, mengakibatkan ketidakstabilan. Yang akhirnya berhasil adalah tidak mencoba untuk menjangkar hanya beberapa node, tetapi untuk anchor semua node relatif terhadap strain yang homogen. Pada dasarnya Anda meregangkan seluruh sistem secara homogen, tetapi kemudian memasukkan komponen homogen dalam definisi lokal dari regangan pada setiap node, sehingga tidak menyumbang energi elastis tambahan. Anda dapat membacanya lebih lanjut di makalah ini dan referensi yang dikutip: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Masalah ketidakstabilan ini mungkin merupakan alasan yang baik untuk memilih elemen hingga untuk masalah mekanik bila memungkinkan.