Menghitung seri yang sedikit berosilasi hingga presisi tinggi?

Misalkan saya memiliki fungsi yang menarik berikut:

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$ Ia memiliki beberapa sifat yang tidak menyenangkan, seperti turunannya yang tidak berkesinambungan pada kelipatan rasional

π

$\pi$ . Saya menduga bentuk tertutup tidak ada.

Saya dapat menghitungnya dengan menghitung jumlah parsial dan menggunakan ekstrapolasi Richardson, tetapi masalahnya adalah terlalu lambat untuk menghitung fungsi ke sejumlah angka desimal yang baik (misalnya 100 akan lebih baik).

Apakah ada metode yang dapat menangani fungsi ini dengan lebih baik?

Berikut adalah sebidang $f'(\pi x)$ dengan beberapa artefak:

$Derivatif fungsi, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Kirill
sumber

Mungkin Anda dapat menggunakan fakta bahwa

, di mana

adalah polinomial Chebyshev. Kemudian penjumlahan mulai terlihat seperti serangkaian polinomial rasional. Kemudian jika Anda dapat mengubah seri menjadi polinomial rasional dalam basis Chebyshev, itu akan memungkinkan cara yang sangat efisien untuk menjumlahkannya. Jika Anda tidak terbiasa dengan polinomial dan basis Chebyshev, Numerical Recipes di C memiliki primer yang bagus, dan juga ini: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

er, yang harus mengatakan

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon Terima kasih atas tautannya. Saya akan melihat dan melihat apakah itu membantu.

— Kirill

Saya bergabung dengan pesta ini agak terlambat, tetapi apakah Anda sudah mencoba menggunakan pendekatan Padé , yaitu

-Algoritma bukannya ekstrapolasi Richardson?

ε

$\varepsilon$

— Pedro

Dengan analogi dengan kasus integral sangat berosilasi, saya tidak berpikir Anda akan dapat melakukan pekerjaan dengan baik tanpa sedikit pengetahuan tentang pemisahan antara bagian berosilasi dan tidak berosilasi. Jika Anda memiliki pemisahan seperti itu, jawaban deret Fourier memberi Anda konvergensi eksponensial yang mudah.

— Geoffrey Irving

Jawaban:

Jika teknik analitik dilarang tetapi struktur periodik diketahui, berikut adalah satu pendekatan. Misalkan periodik dengan periode, sehingga di mana

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{saya j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Jadi,

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- saya j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

Anda baik dapat mendekati integral

langsung atau menghitung sekelompok

nilai-nilai dan menggunakan DFT. Dalam kedua kasus, Anda dapat berpotensi menerapkan ekstrapolasi Richardson ke hasilnya. Karena dalam kasus Anda

analitik dalam lingkungan

, seri terakhir konvergen secara eksponensial bahkan tanpa Richardson.

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{hal}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{hal}} \sum_{j} w_{j} e^{saya j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{saya j x})}^{k}}{k^{hal}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{hal} (e^{saya j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
sumber

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

Untuk $x = 2\pi a/b$ dengan $a,b$ bilangan bulat, yang kita miliki

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$ dimana

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ adalah fungsi trigamma ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). Berikut adalah plot fungsi dan turunannya dengan artefak dihapus: Nilai dan turunannya untuk seri

— Geoffrey Irving
sumber

Terima kasih. Masalahnya adalah saya memilih fungsi spesifik ini sebagai model untuk fungsi lain yang lebih rumit yang sebenarnya ingin saya evaluasi, memiliki fitur yang serupa, tetapi sebenarnya tidak sama. Saya mengetahui formulir tertutup dari pertanyaan ini di MSE . Saya maksudkan ini sebagai pertanyaan tentang menjumlahkan deret tak hingga secara numerik tanpa bentuk tertutup.

— Kirill

Mungkin jawaban saya yang lain lebih baik?

— Geoffrey Irving

Bagaimana dengan Levin u-transform ? Selain kode Fortan, ada beberapa versi di GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . Matlab's MuPAD dan Maple menggunakan skema ini.

— horchler
sumber

Saya mencobanya, tetapi saya menemukan ekstrapolasi Richardson lebih akurat.

— Kirill