Apakah LPF BIBO Ideal tidak stabil?

8

Dalam salah satu diskusi lain: Bagaimana menemukan respons frekuensi, stabilitas, dan kausalitas sistem linear?

Saya menemukan komentar yang cukup kuat dan menarik perhatian saya.

Ideal low-pass filter adalah contoh dari sistem yang tidak BIBO stabil meskipun respon frekuensi dibatasi untuk semua $f$

Saya mengikuti definisi stabilitas sebagaimana di sini di wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Adakah yang bisa memberi saya bukti bahwa LPF yang ideal memang bisa BIBO tidak stabil?

Tentu saja, LPF ideal dengan keuntungan tak terbatas dapat menghasilkan output tanpa batas . Pertanyaan dibatasi untuk LPF ketika keuntungan terbatas.

filters linear-systems

— Dipan Mehta
sumber

1

LPF yang ideal memiliki respons impuls dari bentuk yang tidak memenuhi kondisi diperlukan untuk stabilitas BIBO. Dengan demikian, respons pada terhadap sinyal terikat (yang berganti-ganti antara dan ) adalah dan karenanya LPF yang ideal bukanlah sistem yang stabil BIBO.

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate

7

Jawaban ini adalah tanggapan atas komentar OP pada jawaban yoda.

Misalkan , respons impuls dari sistem waktu-invarian waktu linear kontinu, memiliki properti yang untuk beberapa jumlah terbatas . Kemudian, untuk setiap input terikat , output juga dibatasi. Jika untuk semua mana adalah beberapa angka hingga, maka untuk semua mana juga merupakan angka yang terbatas. Buktinya mudah. $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$ Dengan kata lain, dibatasi setiap kali dibatasi.

y (t)

$y(t)$

x (t)

$x(t)$

Dengan demikian, kondisi sudah cukup untuk stabilitas BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Kondisi juga diperlukan untuk stabilitas BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Asumsikan bahwa setiap input terikat menghasilkan output terikat. Sekarang perhatikan input . Ini dibatasi dengan jelas, ( untuk semua ), dan pada , ia menghasilkan keluaran Asumsi kami bahwa sistem stabil BIBO berarti harus terbatas, yaitu, $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Bukti untuk sistem waktu diskrit mirip dengan perubahan nyata bahwa semua integral diganti dengan jumlah.

LPF yang ideal bukanlah sistem yang stabil terhadap BIBO karena respons impuls tidak sepenuhnya dapat diintegrasikan, sebagaimana dinyatakan dalam jawaban oleh yoda. Tetapi jawabannya tidak benar-benar menjawab pertanyaan itu

Adakah yang bisa memberi saya bukti bahwa LPF yang ideal memang bisa BIBO tidak stabil?

Contoh spesifik dari sinyal input terikat yang menghasilkan output tidak terikat dari LPF yang ideal (dan dengan demikian membuktikan bahwa sistem ini tidak stabil-BIBO) dapat dibangun seperti diuraikan di atas (lihat juga komentar saya pada pertanyaan utama).

— Dilip Sarwate
sumber

5

Suatu kondisi yang diperlukan untuk stabilitas BIBO adalah keberadaan norma (atau norma untuk sistem diskrit) dari respons impuls. Dari artikel wiki yang Anda kutip, $L^1$ $\ell^1$

Untuk sistem linear time invariant (LTI) waktu kontinu, kondisi stabilitas BIBO adalah bahwa respons impuls benar-benar dapat diintegrasikan, yaitu norma L1-nya ada.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

Respons impuls LPF yang ideal adalah fungsi , yang hanya memiliki norma dan bukan norma . Dengan kata lain, adalah tidak benar-benar summable atau $\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Oleh karena itu, LPF yang ideal tidak stabil BIBO meskipun respons frekuensinya dibatasi untuk semua . $f$

— Lorem Ipsum
sumber

Dari apa yang saya pikir respon impuls benar-benar dapat disimpulkan, yaitu norma L1-nya ada. adalah kondisi yang cukup bahwa sistem stabil BIBO. Namun, apakah ini syarat yang harus dipegang?

— Dipan Mehta

-2

Transformasi fourier dari lpf ideal adalah fungsi sinc dalam domain waktu yang ada dari-tak terhingga ke + tak terhingga sehingga non-sebab dan area di dalamnya tak terbatas sehingga tidak terikat. ..

— pankaj kumar singh
sumber

1

Selamat datang di DSP.SE! Terima kasih atas jawaban Anda, tetapi saya tidak berpikir itu menambahkan apa pun ke jawaban yang ada. Selain itu, tidak benar bahwa area di bawah fungsi sinc tidak terikat, itu adalah area di bawah besarnya fungsi sinc yang tidak terikat. Yang terakhir menyebabkan ketidakstabilan sistem.

— Matt L.