Kapan menggunakan DTFT vs DFT (dan inversnya) dalam analisis?

Dalam banyak bacaan saya, setiap kali beberapa penulis berbicara tentang bekerja di domain frekuensi (transformasi) (dari sinyal digital), mereka sering kali mengambil DFT, atau DTFT, (dan tentu saja inversinya yang sesuai). Penulis yang berbeda akan cenderung bekerja dengan satu atau yang lain.

Saya belum bisa memastikan pola tertentu mengenai hal ini. Dalam hal itu, mengapa Anda memilih DTFT daripada DFT atau sebaliknya dalam menjelaskan algoritma? Di mana satu membantu Anda mengatasi yang lain?

DFT dan DTFT jelas sama karena keduanya menghasilkan spektrum fourier dari sinyal diskrit waktu. Namun, sementara DTFT didefinisikan untuk memproses sinyal yang panjang tak terhingga (jumlah dari-infinity hingga infinity), DFT didefinisikan untuk memproses sinyal periodik (bagian periodik yang panjangnya terbatas).

Kita tahu bahwa jumlah tempat frekuensi dalam spektrum Anda selalu sama dengan jumlah sampel yang diproses, jadi ini juga memberikan perbedaan dalam spektrum yang mereka hasilkan: spektrum DFT bersifat diskrit sementara spektrum DTFT kontinu (tetapi keduanya periodik dengan sehubungan dengan frekuensi Nyquist).

Karena tidak mungkin untuk memproses jumlah sampel yang tak terbatas, DTFT kurang penting untuk pemrosesan komputasi yang sebenarnya; ini terutama ada untuk tujuan analitis.

Namun DFT, dengan panjang vektor input yang terbatas, sangat cocok untuk diproses. Fakta bahwa sinyal input seharusnya merupakan kutipan dari sinyal periodik namun diabaikan sebagian besar waktu: Ketika Anda mengubah spektrum DFT kembali ke domain waktu Anda akan mendapatkan sinyal yang sama ketika Anda menghitung spektrum di posisi pertama.

Jadi, sementara itu tidak masalah untuk perhitungan Anda harus mencatat bahwa apa yang Anda lihat tidak ada spektrum sinyal Anda yang sebenarnya . Ini adalah spektrum sinyal teoritis yang akan Anda dapatkan jika Anda secara berkala mengulangi vektor input.

Jadi saya akan berasumsi dalam literatur yang Anda sebutkan, setiap kali penting bahwa spektrum yang Anda kerjakan sebenarnya adalah spektrum dan mengabaikan sisi perhitungan hal-hal, penulis akan memilih DTFT.

DTFT digunakan ketika matematika untuk membuktikan beberapa titik lebih mudah (menghemat di atas kertas dan / atau kapur) ketika mengasumsikan jumlah sampel yang tak terbatas. Artinya itu sebenarnya tidak berguna di dunia nyata (Anda akan mati jauh sebelum Anda menemukan Anda memiliki cukup sampel).

DFT adalah ketika Anda memilih jumlah sampel terbatas yang berguna untuk dikerjakan (memberi Anda matriks ukuran terbatas hingga bagus, gandakan ekuivalen dengan tepat), baik itu periodik (dengan asumsi periodisitas panjang bingkai adalah khayalan lain dalam benak beberapa orang untuk kembali membuat matematika lebih mudah ditelusuri). Menggunakan DFT dengan demikian biasanya menyiratkan jendela (persegi panjang, jika bukan sesuatu yang lain) yang tidak diperlukan dalam DTFT. Jendela ini hadir dengan artefak yang terkadang tidak menyenangkan, serta hilangnya informasi yang jelas tentang sinyal di luar jendela, yang merupakan kelemahan DFT.

$-\infty$$+\infty$