Transformasi Fourier diskrit-waktu

13

Saya seorang siswa sekolah menengah pertama yang memiliki daya tarik umum untuk elektronik, pemrograman, dan sejenisnya. Baru-baru ini, saya telah belajar tentang pemrosesan sinyal.

Sayangnya, saya belum melakukan banyak kalkulus (maafkan saya), jadi saya sedikit bingung.

Jika Anda menghitung DTFT dari suatu sinyal, apa perbedaan antara representasi atau dari sinyal tersebut? $\sin$ $\cos$
Dengan DTFT saya mengerti bahwa sinyal yang Anda input akan terpisah waktu, tetapi bagaimana di dunia Anda dapat mencapai sinyal kontinu dalam domain frekuensi?
Ini mengarah ke pertanyaan kedua saya, yaitu: bagaimana manfaat DTFT? Di mana telah digunakan dengan sebagian besar aplikasi dan mengapa?

Saya sangat menghargai bantuan apa pun.

fourier-transform

— ElectroNerd
sumber

Untuk pertanyaan pertama saya, saya kira itu hanya 90 ° dari fase. Namun, saya telah menghasilkan beberapa grafik yang menunjukkan sebaliknya: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/... i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Pertanyaan bagus Saya membuat jawaban untuk masalah-masalah itu terutama karena mereka berkaitan dengan bagaimana DSP dibawa ke pikiran orang-orang muda. (Ini benar di tingkat universitas). Tembak saya email dan saya bisa menunjukkan beberapa materi (terlalu terlibat untuk memposting di sini).

— Spacey

@Mohammad: Hai, bisakah Anda membagikan materi itu dengan saya di abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

7

Sangat menyenangkan bahwa Anda tertarik dalam pemrosesan sinyal pada tahap awal jalur pendidikan Anda.

Jalan terbaik untuk menuju ke sana adalah dengan membaca beberapa buku pengantar tentang topik tersebut. Ada banyak sumber daya online yang bagus dan gratis untuk Anda mulai. [Catatan untuk editor yang terhormat: buku-buku pengantar yang baik mungkin topik yang sangat bagus untuk "lengket"]. Saya terkadang menggunakannya

Salah satu konsep matematika yang paling penting yang Anda butuhkan untuk mendapatkan lengan Anda adalah angka "kompleks". Ini jelas keliru karena itu benar-benar tidak rumit dan jelas membuat hampir semua matematika teknik lebih sederhana. Sumber gratis hebat lainnya untuk semua hal yang berhubungan dengan matematika adalah http://www.khanacademy.org dan dalam hal ini khususnya http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Kembali ke pertanyaan pertama Anda: Sebenarnya ada empat rasa berbeda dari Fourier Transform: Fourier Series (kemungkinan besar muncul di sekolah menengah), Fourier Transform, Discrete Fourier Transform, dan Discrete Fourier Series. Semuanya menggunakan kombinasi sinus dan kosinus (atau eksponensial kompleks, yang pada dasarnya adalah hal yang sama). Anda akan membutuhkan keduanya.

Katakanlah Anda menghitung koefisien sinus dan kosinus Fourier dari gelombang input sinus. (Dalam kondisi tertentu) Anda akan menemukan bahwa semua koefisien Fourier akan menjadi nol kecuali untuk satu koefisien cosinus dan satu sinus. Namun, tergantung pada fase gelombang sinus input Anda dua angka ini akan bergerak. Anda bisa mendapatkan [0,707 0,707], atau [1 0], atau [0 -1], atau [-0.866 0,5] dll. Anda akan melihat bahwa jumlah kuadrat dari kedua angka itu akan selalu 1, tetapi aktual nilai tergantung pada fase gelombang sinus input.

Jika Anda ingin menyelam lebih dalam, coba ini: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
sumber

Hai Hilmar, terima kasih atas jawabannya! Saya telah melakukan cukup banyak dengan angka-angka yang kompleks dan harus setuju: mereka relatif sederhana. Senang mendengarnya. Setelah bermain-main sedikit lagi, saya menghitung besarnya sinyal input sin dan cos untuk DTFT dan menemukan bahwa amplitudo sama untuk dosa dan cos. Terima kasih terutama untuk buku referensi, saya akan sibuk untuk sementara waktu sekarang.

— ElectroNerd

2

Anda mungkin ingin melihat materi yang tersedia

Proyek INFINITY: memperluas pendidikan teknik berbasis pemrosesan sinyal ke ruang kelas sekolah menengah

tersedia di sini

— Dilip Sarwate
sumber

Ini terlihat sangat menarik; Saya dapat mencoba dan merekomendasikannya ke sekolah saya.

— ElectroNerd

1

DTFT Discrete Time Fourier Transform mengambil Sinyal Infinite diskrit sebagai input dan outputnya dalam domain frekuensi kontinu dan memiliki periode 2 * pi. Datang ke penggunaannya, dalam pengalaman saya DFT (Discrete Fourier Transform) adalah yang digunakan untuk tujuan praktis. Dalam kondisi tertentu, mudah untuk menunjukkan bahwa DFT dari Sinyal non-periodik terbatas tidak lain adalah sampel DTFT yang berjarak sama. Secara umum, jika kita nol pad urutan dalam waktu (atau ruang) domain kita mendapatkan lebih banyak sampel DTFT.

Intinya adalah DFT sangat berguna dan DFT dapat dilihat sebagai sampel DTFT dengan spasi yang sama, untuk mendapatkan lebih banyak sampel DTFT, melakukan nol pad sinyal membantu.

— pv.
sumber

Itu masuk akal: saya diberitahu bahwa semakin lama Anda mengambil sampel dalam domain waktu, semakin halus resolusinya dalam domain frekuensi setelah Anda menghitung DTFT. Saya telah membuat grafik ini menggunakan Python dan matplotlib ( Sine + zero padding , DTFT of zero padding Itu adalah trik yang rapi untuk dilakukan.

— ElectroNerd

Saya harus mengatakan bahwa Anda harus berhati-hati di sini. Kesalahpahaman besar adalah bahwa nol-padding sinyal Anda meningkatkan resolusi frekuensi Anda - tidak. Satu-satunya cara untuk benar-benar meningkatkan resolusi frekuensi Anda adalah memiliki lebih banyak data - sampel domain waktu lebih banyak. Sekarang dikatakan, zero-padding memang membantu jika Anda ingin melihat spektrum frekuensi Anda dengan titik-titik yang diinterpolasi antara apa yang benar-benar Anda perhitungkan.

— Spacey

1

Pertama-tama, membantu untuk memilah terminologi:

Fungsi dalam domain waktu dikenal sebagai sinyal .
Fungsi dalam domain frekuensi dikenal sebagai spektrum .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

Dalam persamaan ini, a _n dan b _n adalah bagian nyata dan imajiner dari spektrum diskrit. Karena itu, seperti yang Anda lihat, transformasi Fourier dari sebuah kosinus akan menjadi bilangan real, dan untuk sinus, itu akan menjadi bilangan imajiner. The T pada sarana terpisahkan bahwa kita mengintegrasikan selama periode penuh sinyal. Ini terutama digunakan dalam apa yang disebut analisis harmonik, yang sebagian besar saya gunakan ketika menganalisis rangkaian analog dengan sinyal non-sinusoidal (gelombang persegi, gelombang segitiga, dll.) Tetapi bagaimana jika sinyal tidak periodik? Ini tidak berhasil, dan kita harus beralih ke transformasi Fourier.

Transformasi Fourier mengubah sinyal kontinu menjadi spektrum kontinu. Tidak seperti seri Fourier, transformasi Fourier memungkinkan fungsi non-periode untuk dikonversi menjadi spektrum. Fungsi non-periodik selalu menghasilkan spektrum kontinu.

Transformasi Fourier diskrit-waktu mencapai hasil yang sama dengan transformasi Fourier, tetapi bekerja pada sinyal diskrit (digital) alih-alih sinyal kontinu (analog). DTFT dapat menghasilkan spektrum kontinu karena karena seperti sebelumnya, sinyal non-periodik akan selalu menghasilkan spektrum kontinu - bahkan jika sinyal itu sendiri tidak kontinu. Jumlah frekuensi yang tak terbatas masih akan ada dalam sinyal, meskipun terpisah.

Jadi, untuk menjawab pertanyaan Anda, DTFT bisa dibilang yang paling berguna, karena beroperasi pada sinyal digital, dan karenanya memungkinkan kami untuk merancang filter digital. Filter digital jauhlebih efisien daripada yang analog. Mereka jauh lebih murah, jauh lebih dapat diandalkan, dan jauh lebih mudah untuk dirancang. DTFT digunakan dalam beberapa aplikasi. Di luar kepala saya: synthesizer, kartu suara, peralatan rekaman, program pengenalan suara dan ucapan, perangkat biomedis, dan beberapa lainnya. DTFT dalam bentuk murni sebagian besar digunakan untuk analisis, tetapi DFT yang mengambil sinyal diskrit dan menghasilkan spektrum diskrit diprogram ke dalam sebagian besar aplikasi di atas, dan merupakan bagian integral dari pemrosesan sinyal dalam ilmu komputer. Implementasi DFT yang paling umum adalah Fast Fourier Transform. Ini adalah algoritma rekursif sederhana yang dapat ditemukan di sini . Saya harap ini membantu! Jangan ragu untuk berkomentar jika Anda memiliki pertanyaan.

— Zetta Suro
sumber

0

Sebagai pv. kata DFT diperoleh dengan mengambil sampel DTFT di "Domain Frekuensi". Seperti yang Anda ketahui, sinyal waktu diskrit diperoleh dengan mengambil sampel sinyal waktu kontinu. Namun, untuk membangun sinyal waktu kontinu dengan sempurna dari lawan waktu-diskritnya, laju pengambilan sampel HARUS lebih besar daripada laju Nyquist. Untuk mewujudkannya, sinyal waktu kontinu harus dibatasi frekuensinya.

Untuk DTFT dan DFT ceritanya terbalik. Anda memiliki DTFT yang berkelanjutan di domain "Frekuensi". Pada dasarnya Anda tidak dapat menyimpan sinyal kontinu dan memprosesnya di komputer. Solusinya adalah pengambilan sampel! Jadi, Anda mencicipi dari DTFT dan memanggil hasilnya DFT. Namun, menurut teorema pengambilan sampel untuk merekonstruksi DTFT dengan sempurna dari DFT, mitra domain-waktu DTFT HARUS "terbatas". Itu sebabnya kita harus menggunakan windowing sebelum mengambil DFT.

— Sina
sumber