Bisakah filter sebab akibat tanpa pergeseran fasa ada?

9

Ketika saya mempelajari dispersi indeks bias dalam semikonduktor dan dielektrik, profesor saya mencoba menjelaskan bahwa jika filter (seperti dielektrik menyerap beberapa frekuensi cahaya, atau RC-filter listrik) menghilangkan beberapa frekuensi, maka yang tersisa harus dipindahkan fase. untuk mengkompensasi frekuensi tersebut (yang tersebar tak terbatas dalam waktu seperti sinyal monokromatik biasa) dikurangi dari keseluruhan sinyal, untuk menjaga hubungan sebab akibat.

Saya secara intuitif memahami apa yang dia bicarakan, tetapi yang saya tidak yakin adalah apakah argumennya benar-benar dapat dibenarkan - yaitu apakah ada filter non-sepele, yang menyerap beberapa frekuensi dan meninggalkan yang tersisa tidak bergeser, tetapi tetap mempertahankan hubungan sebab dan akibat. Saya sepertinya tidak bisa membuat satu, tetapi tidak bisa membuktikan itu tidak ada juga.

Jadi pertanyaannya adalah: bagaimana mungkin (dis) membuktikan bahwa filter kausal harus menggeser fase frekuensi relatif satu sama lain?

filters phase

— Ruslan
sumber

18

Misalkan filter linear memiliki respons impuls $h(t)$ dan respons frekuensi / fungsi transfer $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ , di mana $H(f)$ memiliki properti yang $H(-f) = H^*(f)$ (kendala konjugasi).

Sekarang, respons filter ini terhadap input eksponensial kompleks $x(t) = e^{j2\pi f t}$ adalah

y (t) = H (f) e^{j 2 π f t} = | H (f) | e^{j (2 π f t + ∠ H (f))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$ dan jika kita ingin filter ini menyebabkan tidak ada pergeseran fasa, pastilah

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$ untuk semua

f

$f$ .

Bagaimana jika, alih-alih tidak ada pergeseran fasa, kami bersedia untuk memungkinkan pergeseran fasa tetap konstan untuk semua frekuensi? Artinya, $\angle H(f) = \theta$ untuk semua $f$ dapat diterima oleh kita di mana $\theta$ tidak perlu $0$ ? Garis lintang ekstra tidak banyak membantu, karena $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ , dan jadi $\angle H(f)$ tidak dapat memiliki nilai konstan yang tetap untuk semua $f$ kecuali nilainya $0$ .

Kami menyimpulkan bahwa jika filter tidak mengubah fase sama sekali, maka $H(f)$ adalah fungsi bernilai nyata, dan karena kendala konjugasi, itu juga merupakan fungsi genap dari $f$ . Tetapi kemudian transformasi Fourier $h(t)$ adalah fungsi waktu yang genap , dan dengan demikian filter tidak dapat bersifat kausal (kecuali dalam kasus sepele): jika respons impulsnya bukan nol untuk $t > 0$ , maka juga bukan nol untuk $-t$ (di mana $-t < 0$ ).

Perhatikan bahwa filter tidak perlu melakukan penindasan frekuensi, yaitu, kami tidak memerlukan asumsi bahwa beberapa frekuensi "dihilangkan" oleh filter (seperti yang dilakukan oleh filter profesor OP) untuk membuktikan klaim bahwa pergeseran fase nol tidak dimungkinkan. dengan filter kausal, penekan frekuensi atau tidak.

— Dilip Sarwate
sumber

2

h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$

Jawaban yang bagus, tetapi jika saya tidak salah, premis bahwa respons frekuensi simetris konjugat didasarkan pada respons impuls yang bernilai nyata. Mengapa ini asumsi yang adil? Kita dapat memiliki fungsi transfer dengan koefisien kompleks yang dapat dipahami sebagai kombinasi dari 2 sistem LTI yang nyata secara fisik dan dapat direalisasikan. Itu berarti bahwa respons frekuensi tidak perlu simetris konjugat sehingga analisisnya tidak lengkap.

— ijuneja

6

Ada filter yang menyebabkan pergeseran fase ,, linear, yaitu, penundaan konstan. Tidak mungkin untuk menyaring apa pun (sebab-akibat) tanpa menyebabkan penundaan.

— pengguna7358
sumber

Poin yang bagus. Jadi, waktu relatif bisa dilestarikan. Bagaimana dengan fase bergeser sendiri - bisakah mereka sama untuk semua frekuensi?

— Ruslan

Iya. Itu biasa disebut ,, fase linier ''. Anda dapat menunjukkan bahwa respons impuls dari filter semacam itu harus simetris atau antisimetrik.

— user7358

4

Pergeseran fase disebabkan oleh penundaan waktu, yaitu Waktu yang diambil oleh sinyal untuk mencapai dari input ke output sistem. Sekarang jika sistem tidak menyebabkan perubahan fase maka itu berarti waktu tunda adalah nol. Sekarang pikirkan sebuah sistem yang menyediakan output pada saat yang sama ketika input diterapkan. Apakah itu mungkin? Tentu saja tidak. Jika ada sistem maka itu harus melakukan semacam pekerjaan pada sinyal yang menghasilkan penundaan dan akhirnya pergeseran fasa

— Amit_DSP
sumber

Tampaknya apa yang tidak saya sadari pada saat saya menulis pertanyaan adalah bahwa saya memikirkan pergeseran fase relatif, bukan tentang perubahan global mereka sehubungan dengan sinyal asli. Tentu saja, apa yang Anda katakan jelas, meskipun tidak.

— Ruslan

0

Anda dapat memiliki filter tanpa pergeseran fasa. Ini disebut pengamat (prediktor). Ini bukan lagi sekedar filter, melainkan model matematika tentang bagaimana beberapa pembacaan sensor saling berhubungan. Jadi Anda dapat memprediksi sinyal dan dengan demikian memiliki prediksi terbaik dari sinyal nyata pada saat yang bersamaan saat Anda melakukan pengukuran (tidak ada pergeseran fasa).

— Martin
sumber

"Filter" semacam itu bukan kausal.

— Ruslan

Tentu saja itu bersifat kausal. Definisi kausal adalah bahwa outputnya hanya bergantung pada input dulu dan sekarang. "Kata kausal menunjukkan bahwa output filter hanya bergantung pada input dulu dan sekarang."

— Martin