Transformasi Fourier diskrit nyata

Saya mencoba memahami DFT asli dan DFT dan mengapa perbedaan itu ada.

Dari apa yang saya ketahui sejauh ini DFT menggunakan untuk basis vektor dan memberikan representasi Jumlahnya ditulis dari ke karena alasan historis, saya pikir daripada menulisnya dengan cara yang analog dengan seri Fourier dengan penjumlahan dari $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

hingga

Ini bergantung pada keanehan aneh DFT di mana frekuensi tinggi sama dengan frekuensi negatif:

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Melanjutkan analogi dengan Fourier Series DFT nyata memberikan representasi Ini dapat dilihat sebagai pasangandengandalam representasi DFT di mana jumlah berkisar darihingga. Ini sangat mirip dengan pasangan

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

yang menghubungkan dua representasi dari Fourier Series:

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Pertanyaan sayalalu mengapa DFT jauh lebih lazim daripada DFT nyata? Orang akan berharap bahwa karena DFT yang sebenarnya menggunakan sinus dan cosinus bernilai nyata sebagai dasar dan dengan demikian mewakili gambar geometris yang lebih baik maka orang akan lebih menyukainya. Saya dapat melihat mengapa DFT dan Transformasi Fourier kontinu lebih disukai dalam pengertian teoretis karena aljabar eksponensial lebih sederhana. Tetapi mengabaikan aljabar yang lebih sederhana, dari sudut pandang komputasi praktis yang diterapkan mengapa DFT lebih berguna? Mengapa merepresentasikan sinyal Anda dengan eksponensial kompleks lebih berguna dalam berbagai aplikasi fisika, ucapan, gambar, dll. Dari pada menguraikan sinyal Anda menjadi sinus dan kosinus. Juga jika ada sesuatu yang halus yang saya lewatkan dalam paparan saya di atas, saya ingin tahu: Saya

dft

— pengguna782220
sumber

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Saya sangat merekomendasikan membaca kedua makalah ini tentang transformasi Fourier yang asli dan transformasi Hartley; mereka melakukan pekerjaan dengan baik untuk menjelaskan minat pada metode ini selain dari DFT itu sendiri.

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Salah satu bab dalam Van Loan membahas pertanyaan Anda secara terperinci. Itu mengandaikan beberapa keterampilan dengan manipulasi produk Kronecker.

Paling tidak Anda harus memiliki lebih sedikit pertanyaan daripada yang sekarang Anda miliki.

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ set eksponensial yang sama . Selanjutnya, setiap bobot baru diperoleh dengan mengalikan bobot lama dengan angka yang sesuai.

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Tetapi, seperti dalam kehidupan nyata, jarak tempuh Anda mungkin berbeda-beda, dan jika Anda merasa bahwa representasi dosa / cos adalah cara untuk pergi dan eksponensial kompleks harus dihindari, Anda bebas untuk mengikuti kata hati Anda. Jika Anda kesulitan mengomunikasikan ide-ide Anda kepada kolega, bos, klien atau konsultan, itu akan menjadi kerugian mereka, bukan milik Anda.

— Dilip Sarwate
sumber