Kapan aliasing adalah hal yang baik?

26

Dalam buku Hamming, The Art of Doing Science and Engineering , ia menceritakan kisah berikut:

Sebuah kelompok di Naval Postgraduate School memodulasi sinyal frekuensi yang sangat tinggi ke tempat mereka dapat mengambil sampel, menurut teorema pengambilan sampel seperti yang mereka pahami. Tetapi saya menyadari jika mereka secara cerdik mengambil sampel frekuensi tinggi maka tindakan pengambilan sampel itu sendiri akan memodulasi (alias) ke bawah. Setelah beberapa hari bertengkar, mereka melepas rak peralatan penurun frekuensi, dan peralatan lainnya berjalan lebih baik!

Apakah ada cara lain untuk menggunakan aliasing sebagai teknik utama untuk memproses sinyal, sebagai lawan dari efek samping yang harus dihindari?

sampling bandpass

— datageist
sumber

1

Perhatikan efek integrasi (efek aperture) yang secara efektif menempatkan bandwidth cutoff pada transduser. Sinyal masuk yang berada di atas cutoff bandwidth karena efek integrasi tidak akan diambil, jadi tidak ada cara untuk menggunakan alias pada frekuensi yang terlalu tinggi.

— rwong

@ rwong Sangat menarik.

— datageist

18

Teks yang dikutip dalam pertanyaan adalah kasus menggunakan sampling bandpass atau undersampling .

Di sini, untuk menghindari aliasing distorsi, sinyal yang menarik harus bandpass . Itu artinya spektrum daya sinyal hanya nol di antara . $f_L < |f| < f_H$

Jika kita mengambil sampel sinyal pada laju , maka kondisi bahwa spektrum berulang berikutnya tidak tumpang tindih berarti kita dapat menghindari alias. Spektrum berulang terjadi pada setiap kelipatan bilangan bulat dari . $f_s$ $f_s$

Secara matematis, kita dapat menulis kondisi ini untuk menghindari distorsi alias

\frac{2 f_{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f_{L}}{n - 1}

$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$

di mana adalah bilangan bulat yang memuaskan $n$

1 \leq n \leq \frac{f_{H}}{f_{H} - f_{L}}

$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$

Ada sejumlah rentang frekuensi yang valid yang dapat Anda lakukan dengan ini, seperti yang diilustrasikan oleh diagram di bawah ini (diambil dari tautan wikipedia di atas).

masukkan deskripsi gambar di sini

Pada diagram di atas, jika masalahnya terletak pada area abu-abu, maka kita dapat menghindari aliasing distorsi dengan pengambilan sampel bandpass --- meskipun sinyal sampel diasingkan, kami belum mengubah bentuk spektrum sinyal.

— Peter K.
sumber

2

Peter, dapatkah Anda memperluas jawaban Anda dengan memberikan lebih banyak detail dan beberapa ilustrasi dari artikel terkait? Saya mengatakan ini karena pdf adalah tautan ke halaman web pribadi seseorang dan jika mereka mengambil file tersebut, maka jawabannya kehilangan semua manfaatnya! Secara umum itu membantu jika seseorang memparafrasekan informasi dari tautan sehingga jawabannya mandiri dan kebal terhadap tautan yang membusuk. Juga, saya percaya OP meminta aplikasi selain bandpass sampling di mana efek aliasing sengaja digunakan untuk keuntungannya.

— Lorem Ipsum

@Yoda: Akan lakukan. Tidak ada waktu sekarang (harus memotong!), Tetapi akan kembali lagi nanti hari ini.

— Peter K.

1

Terima kasih! Re: memotong, karena Anda memiliki halaman dan mungkin juga sebuah taman, bolehkah saya menarik minat Anda di lokasi berkebun ? Saya seorang moderator di situs itu dan kami memiliki beberapa saran bagus tentang menumbuhkan / memelihara rumput dan memperbaiki rumput . Silakan periksa kami dan jangan ragu untuk bertanya sayuran / bunga / pohon / kompos, dll pertanyaan terkait!

— Lorem Ipsum

@yoda: Terima kasih atas hasil editnya. Tidak sadar itulah cara Anda mendapatkan gaya tampilan! :-)

— Peter K.

2

Anda dapat melakukan undersampel tanpa sinyal menjadi bandpass, selama frekuensi gambar dari sinyal yang diinginkan berada di depan sampler. Dengan rasio frekuensi yang tepat, Anda dapat mengambil sampel dua sinyal, satu di atas dan satu di bawah laju sampel, selama sinyal dan gambar tidak tumpang tindih setelah aliasing. Perhatikan juga bahwa undersampling jauh lebih tidak toleran terhadap sampling jitter.

— hotpaw2

12

Salah satu contoh yang terlintas dalam pikiran adalah demodulasi digital. Detektor optimal untuk skema modulasi linier disesuaikan dengan penyaringan dan penghancuran pada sampel tengah dari masing-masing simbol.

Pemfilteran yang cocok mungkin tidak melakukan pekerjaan yang sangat baik untuk mengurangi bandwidth, tetapi kami masih ingin membuat keputusan pada simbol rate.

Alias energi dalam hal ini adalah bagian dari merekonstruksi simbol yang dimodulasi.

Poin kuncinya adalah bahwa energi harus alias koheren dalam fase yang benar yaitu waktu sangat penting.

— Mark Borgerding
sumber

7

Resolusi super adalah area lain di mana aliasing diperlukan, atau untuk membuatnya lebih baik, sistem optik tidak boleh menjadi tautan terlemah dalam rantai (dan komponen optik yang secara efektif anti-alias seperti filter optik anti-moire tidak boleh menjadi bagian dari rantai)

— Aurelio
sumber

4

Lain kali ketika aliasing tidak menjadi masalah adalah ketika mendesain filter lowpass yang digunakan untuk penipisan. Anda dapat mengizinkan beberapa jumlah aliasing setelah operasi penipisan untuk melonggarkan kendala pada kinerja filter, menghasilkan desain dengan urutan lebih rendah. Alih-alih menempatkan tepi stopband pada frekuensi Nyquist pasca-penipisan, Anda dapat menggesernya cukup jauh sehingga tidak alias kembali ke passband filter (dan karenanya merusak sinyal minat Anda).

Lain lebih secara matematis, menganggap bahwa sinyal asli Anda adalah sampel pada tingkat dan Anda menebangi dengan faktor . Tepi passband filter ditentukan oleh bandwidth dari sinyal yang diinginkan. Frekuensi Nyquist setelah decimation akan menjadi , jadi jelas frekuensi tepi passband harus kurang dari ini. $f_s$ $D$ $f_p$ $\frac{f_s}{2 D}$

Karena saya telah menegaskan bahwa Anda dapat membiarkan stopband berdarah melewati frekuensi Nyquist yang dihancurkan, ingat bagaimana aliasing di zona Nyquist kedua bekerja: konten apa pun di frekuensi sebelum operasi penipisan akan tampak berada di sesudahnya. Dengan demikian, kita dapat menempatkan tepi stopband pada beberapa frekuensi dan pilih sedemikian rupa sehingga pita transisi filter tidak tumpang tindih dengan passband setelah kita memusnahkan. Agar ini benar: $\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$ $f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\Delta f$

f_{s t o p_{a l i a s e d}} = \frac{f_{s}}{2 D} - Δ f \geq f_{p}

$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$

Δ f \leq \frac{f_{s}}{2 D} - f_{p}

$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$

Hal yang dapat diambil dari hal ini adalah jika masih ada jumlah oversampling yang layak dalam sinyal pasca-decimated ( ada beberapa alasan mengapa Anda akan melakukan ini ), maka Anda dapat mendorong stopband keluar dengan jumlah nontrivial. Sebagai ukuran kuantitatif, Anda dapat melihat rasio transisi dari spesifikasi filter "naif" dan "santai":

T_{n a i v e} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{n a i v e}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}} = \frac{2 D f_{p}}{f_{s}}

$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$

T_{r e l a x e d} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{r e l a x e d}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D} + (\frac{f_{s}}{2 D} - f_{p})} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}

$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{\frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}}{\frac{2 D f_{p}}{f_{s}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{1}{2 - \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$

Ungkapan terakhir ini memberi Anda representasi ringkas dari peningkatan rasio transisi yang dapat diperoleh dengan melonggarkan spesifikasi filter dengan cara ini, diparameterisasi dengan rasio passband filter (yaitu sinyal bandwidth bunga) ke frekuensi Nyquist pasca-penipisan . Dengan memplot rasio ini sebagai fungsi dari frekuensi passband (dinormalisasi oleh laju sampel pasca-penipisan), Anda mendapatkan:

Jadi secara ringkas, jika sinyal Anda masih terlalu berlebih setelah operasi penipisan, maka Anda dapat mengurangi rasio transisi filter dengan faktor hingga 2 dengan merelaksasi spesifikasinya dengan cara ini. Sebagai aturan praktis, jumlah keran yang diperlukan untuk filter FIR kira-kira sebanding dengan rasio transisi. Memang memungkinkan beberapa aliasing saat melakukan penipisan, tetapi spesifikasinya dirancang sedemikian rupa sehingga aliasing tidak tumpang tindih dengan sinyal yang diinginkan. Ini memungkinkannya untuk dihapus nanti jika diperlukan, oleh filter yang beroperasi pada laju sampel yang dihilangkan . $\frac{f_s}{D}$

— Jason R
sumber

1

Mengasingkan memang bisa menjadi hal yang baik dalam kondisi tertentu.

Lihatlah dengan cara ini: katakanlah laju sampling Anda adalah 100 Hz. Katakan juga Anda memiliki sinyal di suatu tempat di luar sana, yaitu mulai dari, katakanlah, 990 hingga 1010 Hz. (Jadi total bandwidthnya adalah 20 Hz, dan berpusat pada 1000 Hz).

Ok bagus, sekarang bagaimana?

Mari kita anggap Anda mengambil sampel sinyal ini pada tingkat 100 Hz Anda. Semua itu terjadi, apakah sinyal Anda (duduk dari 990-1010, berpusat pada 1000Hz) disalin dan digeser pada kelipatan integer 100, kan?

Jadi sekarang tiba-tiba Anda memiliki salinan sinyal 990-1010 asli Anda, kecuali sekarang Anda memiliki satu sinyal yang berpusat pada 900, 800, 700, 600, dll, dan juga 1100, 1200, 1300, dll. BW adalah sama tentu saja. Jadi salinan sinyal Anda terpusat di 900 menempati 890-910 Hz. Salinan duduk di 800 Hz menempati 790-810 Hz, dan seterusnya dan seterusnya. Anda juga akan memiliki salinan di 'baseband', (artinya dipusatkan pada 0Hz, dan menempati -10 hingga 10Hz).

Jadi kapan ini berguna? Nah, lihat apa yang baru saja Anda lakukan - Anda baru saja berhasil mengambil sinyal Anda di 1000Hz, meletakkannya di baseband, dan semua ini dengan sampler berjalan hanya pada 100Hz! Dan coba tebak! Anda melakukan ini semua secara hukum menurut Nyquist!

Ini karena Nyquist tidak mengatakan Anda harus mengambil sampel setidaknya dua kali dari freuqnency maksimum - salah, salah, salah, salah! (Tapi kesalahpahaman yang sangat umum.) Dia mengatakan Anda harus mencicipi setidaknya dua kali bandwidth maksimum sinyal Anda, yang dalam hal ini, adalah 20Hz.

Aplikasi? Yah, banyak dasar untuk ponsel sebenarnya menggunakan teknik 'undersampling' ini. Jadi sinyal ponsel Anda berada pada kisaran Ghz yang tinggi, dan dasar pengambilan sampel dalam ratusan rentang Mhz.

Ngomong-ngomong, melihat bagaimana Nyquist benar-benar bekerja, saya tidak suka istilah 'undersampling' - karena itu menyiratkan bahwa kita, yah, di bawah pengambilan sampel. Tapi kami tidak! Kami sepenuhnya mengikuti Nyquist, dan selalu mengambil sampel setidaknya dua kali bandwidth maksimum dari sinyal yang dimaksud.

— Spacey
sumber

Jawaban teratas di sini sudah berbicara tentang undersampling secara rinci. Ini juga sedikit menyesatkan untuk menyarankan bahwa BTS seluler langsung mengambil sampel pada frekuensi radio dan menggunakan undersampling. Meskipun mungkin ada beberapa elemen undersampling yang digunakan, penerima yang baik biasanya beralih dari RF ke frekuensi menengah (IF) yang cocok untuk pengambilan sampel. Di antara banyak alasan lain, pengambilan sampel di zona Nyquist atas jauh lebih sensitif terhadap jitter waktu sampel, jadi Anda tidak ingin melakukan ini untuk sinyal selebar sepuluh MHz yang berpusat pada 1-2 GHz, misalnya.

— Jason R

Yoda, Terima kasih atas tipsnya, ini posting pertama saya. :-) Saya tidak tahu tentang 'yo-bro'speak yang Anda maksud, saya seorang pembicara / penulis yang bersemangat pada umumnya! Tapi aku akan tetap menggunakan akronim! :-) Jason, Untuk dasar-dasar, saya katakan ratusan MHz bukan puluhan. Saya menggunakan 20Hz dalam contoh. Saya secara pribadi telah bekerja di stasiun seperti itu dan mereka bekerja dengan baik. :-)

— Spacey