Apakah inverse-CTFT ada untuk dirac delta?

8

Apakah transformasi Fourier kontinu waktu terbalik ada untuk Dirac delta (Lonjakan kausal / non-kausal tunggal)?

continuous-signals

— Mikhail
sumber

1

Lihat jawaban untuk pertanyaan terkait matematika terbaru. SE yang juga akan memberi tahu Anda bagaimana menggunakan tabel pasangan transformasi Fourier umum sehubungan dengan variabel frekuensi radian

ω

$\omega$ radian / detik untuk mendapatkan pasangan transformasi Fourier sehubungan dengan variabel frekuensi

f

$f$ di Hertz. Untuk kasus impuls waktu atau frekuensi tertentu, kuncinya adalah properti pengayakan :

\int_{- \infty}^{\infty} x (y) δ (y - Sebuah) d y = x (Sebuah) jika x (y) kontinu di Sebuah .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate

4

Ya, ini adalah eksponensial yang kompleks $e^{2 \pi i f_0 t}$ , pada frekuensi yang ditentukan oleh "posisi" delta $f_0$ (input Anda sedang $\delta(f - f_0)$ ). Tuliskan integral untuk transformasi Fourier terbalik, gunakan definisi $\delta$ dan Anda akan melihatnya "memilih" pada frekuensi khusus ini eksponensial kompleks yang terintegrasi.

— pichenettes
sumber

1

Ini adalah transformasi yang sangat penting yang sering ditemukan dalam tabel transformasi Fourier umum seperti ini .

— Jason R

3

Sebagai catatan: forward dan inverse Fourier Transform sebagian besar adalah hal yang sama. Misalnya persegi panjang dalam satu domain sesuai dengan dosa (x) / x di domain lain (terlepas apakah itu dimulai dalam waktu atau frekuensi). Hal yang sama berlaku untuk delta: impuls di satu domain sesuai dengan eksponensial kompleks di yang lain.

Anda dapat menerapkan FFT terbalik (berdasarkan FFT maju) sebagai berikut:

ambil konjugat
meneruskan FFT
ambil konjugasi lagi
bagi dengan panjang urutan

Di Matlab akan terlihat seperti ini

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
sumber

Saya tidak akan memasukkan langkah # 4 dalam daftar Anda di atas, karena tidak akan selalu demikian. Tidak ada satu pun kesepakatan yang disepakati tentang bagaimana penskalaan ditangani dalam DFT / IDFT. Apa yang Anda sebutkan berfungsi dengan implementasi MATLAB, tetapi mungkin saja orang lain tidak akan membutuhkan pembagian tersebut

N

$N$ .

— Jason R

1

Itu benar. Skala Matlab mungkin yang paling umum (dan terlihat di sebagian besar buku pelajaran). 1 / sqrt (N) untuk maju dan kebalikan akan lebih baik adalah memastikan versi paling bersih dari teorema Parseval, yaitu energi dalam domain waktu sama dengan energi dalam domain frekuensi.

— Hilmar