Perbedaan antara transformasi fourier waktu diskrit dan transformasi fourier diskrit

22

Saya telah membaca banyak artikel tentang DTFT dan DFT tetapi saya tidak dapat membedakan perbedaan antara keduanya kecuali beberapa hal yang terlihat seperti DTFT berjalan hingga tak terbatas sementara DFT hanya sampai N-1. Adakah yang bisa menjelaskan perbedaannya dan kapan menggunakan apa? Kata Wiki

DFT berbeda dari transformasi Fourier diskrit-waktu (DTFT) di mana urutan input dan output keduanya terbatas; oleh karena itu dikatakan sebagai analisis Fourier dari fungsi waktu-domain yang terbatas (atau periodik).

Apakah ini satu-satunya perbedaan?

Sunting: Artikel ini menjelaskan perbedaan dengan baik

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
sumber

4

DTFT adalah fungsi frekuensi yang berkelanjutan, tetapi DFT adalah fungsi frekuensi yang terpisah.

— John

Kuncinya adalah,DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime

@nmxprime Maksud Anda DFT adalah versi sampel dari DTFT?

— endolith

1

@endolith Yes.it is

— nmxprime

Artikel yang Anda tautkan (halaman 2) mengatakan bahwa "CTFT memberi kami spektrum frekuensi diskrit". Bukankah itu salah? Saya pikir frekuensi adalah kontinu dalam kasus sinyal aperiodik waktu kontinyu yang menjalani Transformasi Fourier.

— Aditya P

14

Transformasi Fourier diskrit-waktu (DTFT) adalah transformasi Fourier (konvensional) dari sinyal diskrit-waktu. Outputnya kontinu dalam frekuensi dan berkala. Contoh: untuk menemukan spektrum versi sampel dari sinyal waktu kontinu DTFT dapat digunakan. $x(kT)$ $x(t)$

Transformasi Fourier diskrit (DFT) dapat dilihat sebagai versi sampel (dalam domain frekuensi) dari output DTFT. Ini digunakan untuk menghitung spektrum frekuensi dari sinyal waktu diskrit dengan komputer, karena komputer hanya dapat menangani sejumlah nilai yang terbatas. Saya berpendapat bahwa output DFT terbatas. Ini juga berkala dan karena itu dapat dilanjutkan tanpa batas.

Singkatnya:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Properti matematika dari DFT adalah bahwa kedua input dan output periodik dengan panjang DFT . Artinya, meskipun vektor input ke DFT terbatas dalam praktiknya, hanya benar untuk mengatakan bahwa DFT adalah spektrum sampel jika input DFT dianggap periodik. $N$

— Deve
sumber

1

Apakah Anda tidak bermaksud bahwa input DTFT dalam terbatas?

— Dr. Lutz Lehmann

@ LutzL Dapat menjadi tak terbatas secara umum, ya. Saya akan mengubahnya. Bagaimana dengan output DFT: apakah Anda lebih suka menyebutnya terbatas atau berkala ?

— Deve

saya pikir output dari DFT adalah N-periodik, urutan terbatas

— BaluRaman

1

Dalam DFT, banyak tergantung pada interpretasi. Dari sudut pandang teknis, ia mengubah terbatas menjadi terbatas. Dari sudut pandang bahwa ia menghitung koefisien polinomial trigonometrik, orang mungkin mengatakan bahwa ia mengubah diskrit tak terbatas periodik menjadi terbatas. Tetapi seseorang dapat menggeser jendela frekuensi yang digunakan untuk mewakili input, dan amplitudo atas semua frekuensi yang mungkin membentuk lagi urutan periodik.

— Dr. Lutz Lehmann

Agar lebih konsisten saya akan menempatkan "periodik" daripada "terbatas" untuk input DFT. Ini adalah konsekuensi langsung dari DFT (output) yang terpisah.

— Matt L.

18

baiklah, saya akan menjawab ini dengan argumen yang "lawan" untuk posisi kaku seperti nazi saya tentang DFT miliki.

pertama-tama, posisi kaku saya, seperti nazi : DFT dan Discrete Fourier Series adalah satu-dan-sama. DFT memetakan satu urutan infinite dan periodik, $x[n]$ dengan periode $N$ dalam domain "waktu" ke urutan infinite dan periodik lainnya, $X[k]$ , sekali lagi dengan periode $N$ , dalam domain "frekuensi". dan iDFT memetakannya kembali. dan mereka "injeksi" atau "tidak bisa dibalik" atau "satu-ke-satu".

DFT:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

itulah yang paling mendasar dari DFT. itu inheren hal periodik atau melingkar.

tetapi periodisitas menyangkal suka mengatakan ini tentang DFT. memang benar, itu tidak mengubah apa pun di atas.

jadi, misalkan Anda memiliki urutan panjang-terbatas $x[n]$ dengan panjang $N$ dan, alih-alih secara berkala memperpanjangnya (seperti yang dilakukan DFT secara inheren), Anda menambahkan urutan panjang-terbatas ini dengan nol tanpa batas di kiri dan kanan. begitu

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

sekarang, urutan tak terbatas yang berulang ini memiliki DTFT:

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ adalah Z-transform daridievaluasi pada unit lingkaranuntuk tak terhingga banyaknyanyatanilai-nilai. sekarang, jika Anda adalah untuk sampel yang DTFT $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ di $N$ sama spasi titik pada lingkaran satuan, dengan satu titik di $z=e^{j\omega}=1$ , Anda akan mendapatkan

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

itulah tepatnya bagaimana DFT dan DTFT saling berhubungan. sampling DTFT pada interval yang seragam di "frekuensi" penyebab domain, dalam domain "waktu", asli urut diulang dan bergeser oleh semua kelipatan dan tumpang tindih tambah. itulah yang menyebabkan pengambilan sampel seragam dalam satu domain di domain lain. tapi, karena dihipotesiskan menjadi di luar interval , yang tumpang tindih-menambahkan tidak apa-apa. itu hanya berkala meluas bagian non-nol dari $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ , urutan panjang terbatas asli kami, $x[n]$ .

— robert bristow-johnson
sumber

3

Jawaban yang diterima baik, tetapi saya menemukan jawaban Anda lebih mendalam. Terima kasih telah menyediakan koneksi matematika yang sebenarnya antara DTFT dan DFT ... terutama pengambilan sampel spektrum yang menyebabkan periodisitas dalam domain waktu. Itu poin yang selalu saya lupakan.

— rayryeng

Paragraf kedua Anda tampaknya mengisyaratkan bahwa DFT menerima urutan input yang panjangnya tak terbatas. Adakah yang pernah melakukan DFT tanpa batas?

— Richard Lyons

hei Rick, senang melihatmu di sini dari comp.dsp . saya ingat disambut oleh @PeterK ketika saya pertama kali agak bermigrasi (tetapi saya tidak akan pernah meninggalkan comp.dsp ). bagaimanapun, pada tingkat yang sama bahwa DFS menerima urutan input dengan panjang tak terbatas adalah derajat bahwa DFT menerima input dengan panjang tak terbatas. semua yang saya katakan adalah bahwa DFT dan DFS adalah satu-dan-sama.

— robert bristow-johnson

1

@robert bristow-johnson. ini adalah penjelasan yang indah. pertanyaan saya mungkin buruk tetapi, dengan deret Fourier diskrit, Anda merujuk pada kasus di mana input adalah fungsi periodik berkelanjutan yang berlangsung tanpa batas di kedua arah, benar? Dari apa yang saya ingat katakan, dari membaca buku dover george silov, jika Anda membuat jumlah koefisien fourier cukup besar dengan menggunakan grid frekuensi yang cukup baik, maka seri fourier dapat mereproduksi periode fungsi kontinu secara sewenang-wenang. ini adalah fs yang Anda maksudkan, ketika Anda mengatakan mereka itu sama dengan DFT, benar? Terima kasih.

— mark leeds

by Discrete Fourier Series, i mean the same thing as the DFT and iDFT definitions shown in the answer:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$ and, for both

x [n]

$x[n]$ and

X [k]

$X[k]$ , they are periodic with a period

N

$N$ :

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$ and

N

$N$ is a positive integer. that's all i mean by the DFS.

— robert bristow-johnson

1

Since DTFT output is continuous, it can not be processed with computers. So we have to convert this continuous signal into discrete form. It is nothing but DFT as a further advancement on FFT to reduce calculations.

— gaurav singhal
sumber

0

If I am correct, even if DFT input is periodic, although the number of samples is finite, the mathematics behind it treats it as an infinite sequence which periodically commences the N samples after its termination. Please correct me if I am wrong.

— ubuntu_noob
sumber

some at comp.dsp that i've had arguments with might "correct" you, but they're wrong. there is no difference between the DFT and the Discrete Fourier Series. none whatsoever.

— robert bristow-johnson

To help me understand what's being said here, I have a question regarding the output of the operation you call a "Discrete Fourier series". Is that output a sequence of numbers or a continuous function (an equation)?

— Richard Lyons

-1

DFT:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$ INVESTASINYA AKAN:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— user25761
sumber

1

Please use Latex markup so that your math is readable, and explain a bit more of the process you followed, so that your answer can actually help the OP.

— MBaz