Anda juga bisa memperkirakan fungsi akar kuadrat dengan menggunakan Metode Newton . Metode Newton adalah cara perkiraan di mana akar suatu fungsi berada. Ini juga merupakan metode iteratif di mana hasil dari iterasi sebelumnya digunakan dalam iterasi berikutnya hingga konvergensi. Persamaan untuk metode Newton untuk menebak di mana root adalah fungsi diberi tebakan awal x 0 didefinisikan sebagai:f( x )x0
x1= x0- f( x0)f′( x0)
adalah tebakan pertama di mana root berada. Kami terus mendaur ulang persamaan dan menggunakan hasil dari iterasi sebelumnya hingga jawabannya tidak berubah. Secara umum, untuk menentukan menebak akar di ( n + 1 ) iterasi, mengingat menebak di n iterasi didefinisikan sebagai:x1( N + 1 )n
xn + 1= xn- f( xn)f′( xn)
Untuk menggunakan metode Newton untuk memperkirakan akar kuadrat, anggaplah kita diberi nomor . Karena itu, untuk menghitung akar kuadrat, kita perlu menghitung √Sebuah Karena itu, kami berusaha menemukan jawaban sedemikian rupa sehinggax= √Sebuah--√ . Kuadratkan kedua sisi, dan memindahkanake sisi lain dari persamaan menghasilkanx2-a=0. Dengan demikian, jawaban untuk persamaan ini adalah √x = a--√Sebuahx2- a = 0 dan dengan demikian merupakanakardari fungsi tersebut. Karena itu, misalkanf(x)=x2-aadalah persamaan yang ingin kita temukan akar. Dengan mengganti ini ke dalam metode Newton,f′(x)=2x, dan oleh karena itu:Sebuah--√f( x ) = x2- af′( x ) = 2 x
xn+1=1
xn + 1= xn- x2n- a2 xn
xn + 1= 12( xn+ axn)
Sebuah1x= a--√Sebuah--√1x2- a = 01Sebuah√Sebuah
xn + 1= xn- f( xn)f′( xn)
xn + 1= xn- 1( xn)2- a- 2( xn)3
xn + 1= 12( 3 xn- ( xn)3a )
Namun, ada peringatan yang harus kita pertimbangkan ketika melihat persamaan di atas. Untuk akar kuadrat, solusinya harus positif dan agar iterasi (dan hasilnya) menjadi positif, kondisi berikut harus dipenuhi:
3 xn- ( xn)3a > 0
3 xn> ( xn)3Sebuah
( xn)2a < 3
Karena itu:
( x0)2a < 3
x0x0x010- 6
Saat tag Anda mencari algoritme C, mari kita tuliskan dengan sangat cepat:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Ini adalah implementasi yang cukup mendasar dari metode Newton. Perhatikan bahwa saya terus mengurangi setengah tebakan awal sampai kondisi yang kita bicarakan sebelumnya puas. Saya juga mencoba mencari akar kuadrat dari 5. Kita tahu bahwa ini kira-kira sama dengan 2,236 atau lebih. Menggunakan kode di atas memberikan hasil sebagai berikut:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
Sebuah
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Seperti yang Anda lihat, satu-satunya hal yang berbeda adalah berapa banyak iterasi yang diperlukan untuk menghitung akar kuadrat. Semakin tinggi jumlah yang ingin Anda hitung, semakin banyak iterasi yang akan diambil.
Saya tahu bahwa metode ini telah disarankan di posting sebelumnya, tetapi saya pikir saya akan mendapatkan metode ini dan juga menyediakan beberapa kode!