Menemukan z-transform untuk dan nol untuk

Jadi saya mencoba untuk memutuskan apakah bagian kosinus dimaksudkan untuk dicolokkan untuk atau apakah itu benar-benar bagian dari . (angka a terletak pada disk unit terbuka) $z$ $h[n]$

Maksud saya, saya cukup yakin itu semua adalah bagian dari tetapi kemudian saat melakukan z-transform saya mendapatkan fungsi rasional ini $h[n]$

\frac{1 - a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1}}{1 - 2 a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1} + a^{2} z^{- 2}}

$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$

Masalahnya kemudian saya harus mengevaluasi kutub dan nol dan jika Anda mengabaikan bagian-bagian kosinus Anda mendapatkan ekspresi rasional yang sangat bagus ini yang faktor dan disederhanakan ke . $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

Jadi itu membuat saya berpikir bahwa mungkin saya tidak memahami hal-hal dengan benar dan bagian cosinus seharusnya dipasang untuk atau sesuatu. Adakah yang bisa menjelaskan ini untuk saya? $z$

z-transform

— Zaubertrank
sumber

Petunjuk: Gunakan identitas Euler untuk mengekspresikan sebagai jumlah dari dua fungsi eksponensial kompleks dan kemudian menjumlahkan seri geometris yang dihasilkan. Membaca jawaban saya untuk pertanyaan Anda yang lain mungkin membantu dalam mencari tahu apa deret geometri yang dimaksud.

\cos (2 π n / F_{0} f_{0})

$\cos(2\pi n/F_0 f_0)$

— Dilip Sarwate

Saya melakukan semua itu, itulah cara saya mendapatkan ungkapan rasional di atas. Karena saya memposting ini, saya sebenarnya bisa memfaktorkannya dan mendapatkan kutub dan nol, terima kasih atas bantuan Anda. Sebenarnya bisa Anda lakukan saya padat dan katakan padaku kode matlab yang diperlukan untuk merencanakan respons frekuensi sistem ini dengan = 0,8, F_s = 128 dan f_0 = 32? Terima kasih.

— Zaubertrank

Apakah Anda mendapatkan dua kutub konjugat kompleks di lokasi pada lingkaran jari-jari? Sejauh menyangkut MATLAB, saya minta maaf karena saya tidak dapat membantu Anda karena saya tidak terbiasa dengan sintaksis MATLAB. Tunggu sebentar dan saya yakin orang lain akan membantu Anda.

| a |

$|a|$

— Dilip Sarwate

yup di situlah saya mendapatkannya.

— Zaubertrank

@Zaubertrank "freqz" bekerja sangat baik untuk menyaring analisis kinerja di Matlab.

— Jim Clay

Jawaban:

Sinyal domain waktu (atau respons impuls)

h (n) = a^{n} \cos n θ_{0}, θ_{0} = 2 π \frac{f_{0}}{f_{s}}, n \geq 0

$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$

sangat umum: ini adalah fungsi sinusoidal teredam (dengan asumsi ) yang sering terjadi, karena merupakan salah satu respons yang mungkin dari sistem invarian waktu linier urutan kedua. Jadi mengenai keraguan Anda, bagian kosinus pasti dimaksudkan untuk menjadi bagian dari sinyal domain waktu. Kutub dan nol dapat ditemukan dengan menulis ulang : $|a|<1$ $H(z)$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} H (z) & = \frac{1 - a z^{- 1} \cos θ_{0}}{1 - 2 a z^{- 1} \cos θ_{0} + a^{2} z^{- 2}} \\ = \frac{z (z - a \cos θ_{0})}{z^{2} - 2 a z \cos θ_{0} + a^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$

Dari (1) mudah untuk menentukan nol : $H(z)$

z_{0, 0} = 0 z_{0, 1} = a \cos θ_{0}

$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$

Untuk menentukan kutub, kita menulis sebagai ekspansi fraksi parsial: $H(z)$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - a e^{j θ_{0}} z^{- 1}} + \frac{1}{1 - a e^{- j θ_{0}} z^{- 1}}] \end{matrix}

$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$

Dari (2) kita melihat bahwa kutub diberikan oleh Kami memiliki kutub konjugat yang kompleks karena bernilai nyata. Dengan asumsi bahwa adalah respon impuls, kita dapat melihat dari kutub bahwa sistem stabil jika karena dengan demikian kutub berada di dalam lingkaran satuan dari bidang kompleks.

z_{\infty, 0} = a e^{j θ_{0}} z_{\infty, 1} = a e^{- j θ_{0}}

$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$

h (n)

$h(n)$

h (n)

$h(n)$

| a | < 1

$|a|<1$

— Matt L.
sumber

Transformasi- akan: Semoga bermanfaat $x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$ masukkan deskripsi gambar di sini

— Ram
sumber

Apakah Anda keberatan memasukkannya ke dalam TeX, alih-alih gambar?

— jojek