Memahami dasar-dasar penyaringan multirate

Saya mengalami kesulitan memahami beberapa konsep dasar penyaringan multirate. Saya melihat dari berbagai sumber bahwa blok bangunan dasar filter multirate adalah analisis diad dan blok sintesis.

Pertanyaan 1 :

Struktur blok analisis terlihat seperti berikut ini, di mana sinyal pita lebar dipecah menjadi band-band lowpass dan highpass, masing-masing dengan cutoff FS / 4 (Nyquist / 2). Setiap band kemudian dihancurkan oleh faktor 2.

Bagaimana Anda dapat secara akurat mewakili sinyal dalam pita frekuensi tinggi ketika mengandung informasi frekuensi di atas batas Nyquist dari laju sampel terurai yang baru?
Pertanyaan 2 :

Struktur blok analisis terlihat seperti berikut, di mana sinyal sub-band diinterpolasi, disaring ulang dan kemudian dijumlahkan.

Apa tujuan dari pemfilteran kedua?

filter-bank

— belajar
sumber

Teorema Nyquist umum adalah "Anda memerlukan setidaknya dua sampel per Hz bandwidth". Jika sinyal Anda beralih dari 999000Hz ke 1001000 Hz, laju sampel yang diperlukan hanya 4kHz bahkan jika semua frekuensi yang terlibat jauh lebih tinggi.

— Hilmar

Saya sekarang melihat bahwa "per Hz bandwidth" adalah kunci di sini yang saya lewatkan.

— learnvst

Saya akan menjawab pertanyaan 2 terlebih dahulu, dan semoga itu akan membantu menjelaskan apa yang terjadi dengan pertanyaan 1.

Ketika Anda mengambil sampel sinyal baseband ada alias implisit dari sinyal baseband di semua kelipatan bilangan bulat dari frekuensi sampling, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Sinyal baseband asimetris dg alias Gambar solid adalah sinyal baseband asli, dan alias diwakili oleh gambar putus-putus. Saya memilih sinyal asimetris (yaitu kompleks) untuk membantu menunjukkan inversi yang terjadi pada kelipatan ganjil dari frekuensi sampling.

Anda mungkin bertanya, "Apakah alias itu benar-benar ada?" Ini sedikit pertanyaan filosofis. Ya, dalam pengertian matematika mereka memang ada, karena semua alias (termasuk sinyal baseband) tidak dapat dibedakan satu sama lain.

Ketika Anda melakukan upample dengan memasukkan nol di antara sampel asli, Anda secara efektif meningkatkan laju sampling dengan laju upample. Jadi, jika Anda meng-upample dengan faktor dua (menempatkan satu nol di antara masing-masing sampel), Anda meningkatkan laju pengambilan sampel dan tingkat Nyquist dengan faktor 2, menghasilkan gambar di bawah ini. Sinyal baseband asimetris yang ditingkatkan

Seperti yang Anda lihat, salah satu alias tersirat dalam gambar sebelumnya kini telah menjadi eksplisit. Jika Anda FFT sampel itu akan muncul. Bukti tidak ketat bahwa transformasi DFT tidak berubah secara mendasar diberikan di bawah ini.

Sekarang bahwa Anda memiliki dua alias eksplisit, jika Anda hanya ingin alias baseband maka Anda harus filter low-pass untuk menyingkirkan alias lainnya. Namun, kadang-kadang, orang menggunakan alias lain untuk melakukan modulasi bagi mereka. Dalam hal ini Anda akan menggunakan filter high-pass untuk menghilangkan sinyal baseband. Saya harap jawaban pertanyaan 2.

Pertanyaan 1 pada dasarnya adalah kebalikan dari pertanyaan 2. Misalkan Anda sudah berada dalam situasi yang ditunjukkan pada gambar kedua. Ada dua cara untuk mendapatkan sinyal baseband yang Anda inginkan. Cara pertama adalah dengan low-pass filter (dengan demikian menyingkirkan alias lebih tinggi) dan kemudian menipiskan oleh faktor dua. Itu membuat Anda membayangkan # 1.

Cara kedua adalah dengan high-pass filter (menyingkirkan alias baseband) dan kemudian menipisnya dengan faktor dua. Alasan mengapa ini berhasil adalah karena Anda dengan sengaja memasukkan sinyal ke baseband, sehingga, sekali lagi, membuat Anda membayangkan gambar # 1.

Mengapa Anda ingin melakukannya dengan cara itu? Karena dalam kebanyakan situasi sinyal tidak akan sama, sehingga Anda dapat memilih sinyal mana yang Anda inginkan, atau melakukannya secara terpisah.

Jika Anda mempelajari pemrosesan multi-rate, saya sangat merekomendasikan mendapatkan "Pemrosesan Sinyal Multirate untuk Sistem Komunikasi" oleh Frederic Harris. Dia melakukan pekerjaan yang sangat baik untuk menjelaskan teori tanpa mengabaikan matematika, dan memberikan banyak nasihat praktis juga.

EDIT: Pengambilan sampel sinyal dengan sengaja kurang dari tingkat Nyquist disebut undersampling . Berikut ini adalah upaya saya untuk menjelaskan secara matematis mengapa FFT tidak berubah ketika Anda upample. "x [n]" adalah set sampel asli, "u" adalah faktor upampling, dan "x '[n]" adalah set sampel yang di-upampled.

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N - 1} x^{'} [n] e^{- i 2 π k n / u N}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0.. N - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x^{'} [u n] e^{- i 2 π k u n / u N} \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

Permintaan maaf untuk pemformatan yang jelek. Saya seorang pemula LaTex.

EDIT 2: Seharusnya saya menunjukkan bahwa DFT untuk x [n] dan x '[n] tidak benar-benar identik. Laju sampel lebih tinggi, yang seperti yang saya jelaskan di bagian awal jawaban, menyebabkan alias "terbuka". Saya mencoba menunjukkan dengan cara non-matematis saya bahwa DFT adalah, selain dari tingkat sampel, sama.

— Jim Clay
sumber

Ini jawaban yang fantastis. Terima kasih. Jelas sekali.

— learnvst

Konten dalam edit Anda salah. Jika Anda melakukan upample sinyal dengan memasukkan nol di antara sampel, maka DFT dari sinyal yang dihasilkan tidak sama dengan DFT dari sinyal asli; spektrum nol-boneka sinyal sama dengan aslinya, frekuensi-dikompresi dan diulang oleh faktor upsampling .

U

$U$

— Jason R

@JasonR Saya percaya bahwa hasil edit pada dasarnya benar, meskipun saya gagal menunjukkan bahwa sample rate berubah, yang merupakan perubahan penting. Saya percaya di mana kami berbeda adalah bahwa Anda memikirkannya dari perspektif yang dinormalisasi, yang memang membuat apa yang terjadi tampak seperti "kompresi" dan "pengulangan". Namun, ketika saya mencoba menjelaskan di bagian asli dari jawaban saya, cara lain untuk melihatnya adalah bahwa kami hanya meningkatkan laju sampel, yang menyebabkan alias lainnya terekspos.

— Jim Clay

@JasonR Jika saya membuat kesalahan dalam persamaan, tolong tunjukkan kepada saya dan saya akan dengan senang hati memperbaikinya. Terima kasih.

— Jim Clay