Apa

9

Apakah -transformasi dari urutan untuk ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

Transformasi Fourier dari nol fungsi urutan Bessel dikenal sebagai untuk . Ini memiliki kutub di . Apakah ini menyiratkan bahwa -transform juga akan memiliki kutub pada lingkaran unit? $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

EDIT:

Masalah yang saya lihat melibatkan sampel diskrit dari fungsi Bessel yaitu . Bagaimana saya melanjutkan untuk menentukan $J_0(n)$ $\mathcal Z$ -transformasinya?

fourier-transform z-transform

— sauravrt
sumber

Saya penasaran, apa aplikasi untuk ini?

— nibot

@nibot Saya bekerja dengan model noise isotropik dan untuk kasus 2D, elemen matriks kovarians noise adalah fungsi urutan pertama Bessel. Nilai eigen dari cov. Matriks terkait dengan transformasi-Z dari urutan fungsi Bessel.

— sauravrt

2

Ekspansi Taylor untuk fungsi Bessel dari jenis pertama dan urutan ke-0 adalah

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(lihat http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Jadi pada dasarnya Anda dapat memperkirakan ini sebagai Z-transform dari suatu polinomial.

— Hilmar
sumber

1

Anda dapat menerapkan definisi transformasi- ke ekspresi yang setara dari fungsi Bessel, atau ke perkiraan. $\mathcal Z$

Fungsi yang setara dapat:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Perbarui :

Informasi lebih lanjut tentang persamaan ekspresi ada di sini .

— Luis Andrés García
sumber

1

J_{0} (x)

$J_0(x)$

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

Penghargaan Anda tentang perkiraan itu benar. Saya telah mengedit jawaban saya.

— Luis Andrés García