Memecahkan Masalah Konvolusi dari Sinyal 1D

Saya menemukan kesulitan dalam mencoba menyelesaikan latihan ini. Saya harus menghitung lilitan sinyal ini:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

di mana $u(t)$ adalah fungsi Heavyside

baik saya menerapkan rumus yang mengatakan bahwa lilitan kedua sinyal ini sama dengan

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

di mana $X(f)$ adalah transformasi Fourier dari sinyal pertama dan $W(f)$ adalah transformasi Fourier dari sinyal kedua

baik Transformasi Fourier dari $e^{-kt}u(t)$ adalah

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Saya harus membuat sinyal kedua sama dengan mungkin untuk $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

jadi saya melakukan operasi ini:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ ini sama

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

benar atau tidak?

— Mazzy
sumber

Terlihat benar bagiku. Satu peringatan - beberapa definisi dari sinc memasukkan pi dalam parameter, seperti yang telah Anda lakukan, dan beberapa menganggapnya (yaitu mereka akan menulis sinc (t / 10)). Tidak ada yang baik, selama Anda mengerti yang Anda lakukan.

— Jim Clay

Juga mencatat bahwa invers transformasi Fourier dari

adalah hasil konvolusi yang Anda cari. Menggunakan dualitas antara konvolusi dalam domain waktu dan multiplikasi dalam domain frekuensi tidak akan selalu membantu Anda untuk secara analitis menentukan hasil konvolusi jika transformasi terbalik sulit dilakukan.

Y (f)

$Y(f)$

— Jason R

Meskipun saya menyadari bahwa ini adalah respons yang sangat terlambat, saya tetap akan mencoba untuk menjawab pertanyaan ini karena saya merasa ini bersifat instruktif dan juga karena jumlah upvotes menunjukkan bahwa pertanyaan ini menarik bagi masyarakat secara umum.

$x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

$(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

$w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

$w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ masukkan deskripsi gambar di sini

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

masukkan deskripsi gambar di sini

— Matt L.
sumber

Mungkin interpretasi yang lebih baik akan menjadi input fungsi sinc yang diterapkan pada filter low-pass first-order yang dapat direalisasi secara fisik yang respons impulsnya adalah eksponensial yang membusuk?

— Dilip Sarwate

Tentu itu interpretasi lain yang valid, tetapi mengapa lebih baik? OK, sistem bisa direalisasikan tetapi bukan sinyal input. Filter lowpass yang ideal adalah sistem standar yang sering dianalisis dan digunakan untuk tujuan instruktif meskipun tidak dapat direalisasikan. Bagaimanapun, untungnya hasilnya tetap sama :)

— Matt L.