Mengapa Transformasi Fourier dari sisir Dirac menjadi sisir Dirac?

16

Ini tidak masuk akal bagi saya, karena ketidaksetaraan Heisenberg menyatakan bahwa $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Karena itu ketika Anda memiliki sesuatu yang terlokalisasi dengan sempurna dalam waktu, Anda mendapatkan sesuatu yang sepenuhnya terdistribusi dalam frekuensi. Karenanya hubungan dasar $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ mana $\mathfrak{F}$ adalah operator transformasi Fourier .

Tetapi untuk sisir Dirac , menerapkan transformasi Fourier, Anda menerima sisir Dirac lainnya. Secara intuitif, Anda juga harus mendapatkan jalur lain.

Mengapa intuisi ini gagal?

fourier-transform

— Carlos - the Mongoose - Bahaya
sumber

13

Saya percaya bahwa kesalahannya adalah percaya bahwa sisir Dirac terlokalisasi pada waktunya. Itu bukan karena itu adalah fungsi periodik dan karena itu hanya dapat memiliki komponen frekuensi pada kelipatan frekuensi fundamentalnya, yaitu pada titik frekuensi diskrit. Itu tidak dapat memiliki spektrum kontinu, jika tidak maka tidak akan periodik dalam waktu. Sama seperti fungsi periodik lainnya, sisir Dirac dapat diwakili oleh deret Fourier, yaitu sebagai jumlah tak terbatas dari eksponensial kompleks. Setiap eksponensial kompleks sesuai dengan impuls Dirac dalam domain frekuensi pada frekuensi yang berbeda. Menjumlahkan impuls Dirac ini memberikan sisir Dirac dalam domain frekuensi.

— Matt L.
sumber

Ya, tidak ada sisir periodik yang terlokalisasi dalam variabel independennya masing-masing (waktu / frekuensi).

— Peter K.

11

Intuisi Anda gagal karena Anda mulai dengan asumsi yang salah. Ketidakpastian Heisenberg tidak mengatakan apa yang Anda pikirkan. Seperti yang sudah Anda katakan dalam pertanyaan Anda, ini merupakan ketimpangan . Lebih tepatnya, itu

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Tidak ada alasan mengapa produk ketidakpastian harus dekat dengan batas bawah untuk semua sinyal. Faktanya, satu-satunya sinyal yang mencapai batas terendah ini adalah atom Gabor. Untuk semua sinyal lain, perkirakan itu lebih besar dan mungkin bahkan tak terbatas.

— Jazzmaniac
sumber

1

Benar, tetapi kesalahan utama adalah berpikir bahwa sisir Dirac terlokalisir pada waktunya. Itu bukan karena itu periodik. Jadi teorema ketidakpastian tidak mengatakan sesuatu yang berguna tentang sisir Dirac.

— Matt L.

@ Mat., Bukan itu yang saya mengerti pertanyaan asli. Saya pikir dia benar-benar berpendapat bahwa kereta dirac sepenuhnya terdelokalisasi di domain asalnya dan karena itu Fourier harus berubah menjadi sesuatu yang sangat lokal.

— Jazzmaniac

1

OK, sepertinya ada kesalahpahaman apa arti OP dengan 'jalur lain'. Saya pikir ini mengacu pada spektrum datar (seperti spektrum impuls Dirac yang dia sebutkan sebelumnya). Tapi Anda pikir ini mengacu pada garis spektral, yaitu satu frekuensi tunggal. Setidaknya sekarang saya mengerti bagaimana jawaban Anda dapat menjawab pertanyaan OP.

— Matt L.

1

@MattL., Saya benar-benar berpikir dia berarti representasi grafis yang biasa dari distribusi Dirac ketika dia menulis "baris". Bagaimanapun, ia harus mengklarifikasi karena pertanyaannya dapat benar-benar dibaca setidaknya dalam dua cara yang berbeda.

— Jazzmaniac

1

baik, definisi "standar" adalah pernyataan fisik yang menghubungkan ketidakpastian momentum dan posisi (khususnya penyimpangan standar) dan memiliki

di sana. dan meskipun demikian, dalam hal ini, Anda harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "

" dan "

". konstanta itu (yang Anda tentukan sebagai

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) tidak boleh terlalu jauh dari kesatuan (dalam skala log), tetapi tidak harus

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

kecuali karena definisi spesifik untuk "

" dan "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson

6

insinyur listrik bermain sedikit cepat dan longgar dengan fungsi delta Dirac, yang ahli matematika bersikeras bukan fungsi (atau, setidaknya, bukan fungsi "biasa", tetapi merupakan "distribusi"). fakta matematika adalah bahwa jika $f(t)=g(t)$ "hampir di mana-mana" (yang berarti pada setiap nilai $t$ kecuali untuk jumlah nilai diskrit yang dapat dihitung), maka

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

baik fungsi $f(t)=0$ dan $g(t)=\delta(t)$ sama di mana-mana kecuali pada $t=0$ , namun kami insinyur listrik bersikeras bahwa integral mereka berbeda. tetapi jika Anda mengesampingkan perbedaan kecil ini (dan, menurut saya, tidak praktis), jawaban untuk pertanyaan Anda adalah:

fungsi Dirac sisir
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ adalah fungsi periodik dari periode $T$ dan karena itu memiliki serangkaian Fourier: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
jika Anda ledakan keluar koefisien, $c_n$ , dari seri Fourier Anda mendapatkan:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

jadi seri Fourier untuk sisir Dirac adalah

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

yang berarti Anda hanya menyimpulkan sekelompok sinusoid dengan amplitudo yang sama.

Fourier Transform dari sinusoid kompleks tunggal adalah:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

dan ada sifat linearitas mengenai Transformasi Fourier ini. sisa buktinya adalah latihan diserahkan kepada pembaca.

— robert bristow-johnson
sumber

1

@Jazzmaniac, itu kepalsuan. kapan saya pernah merendahkan matematikawan? (Saya pikir Anda sedikit memproyeksikan.) BTW, sudah 38 tahun sejak saya memiliki 2 semester analisis fungsional di tingkat pascasarjana. tidak ingat semuanya, tapi saya yakin ingat apa itu ruang metrik, ruang metrik normed (saya pikir mereka kadang-kadang disebut "ruang Banach"), dan ruang produk dalam (kadang-kadang disebut "ruang Hilbert"), dan betapa fungsional adalah (peta dari salah satunya ke nomor). dan saya tahu apa ruang linear. tentang

, saya tidak keberatan mereka telanjang.

δ (t)

$\delta(t)$

— robert bristow-johnson

Anda melanjutkan dengan argumen yang salah yang menyarankan ahli matematika tidak mendapatkan 1 ketika mereka berintegrasi dengan distribusi Dirac. Nah, Anda tidak dapat menunjukkan lebih baik bahwa Anda belum memahami distribusi Dirac, bahkan jika Anda telah mengambil kelas analisis fungsional. Tidak perlu insinyur listrik seperti Anda untuk "memperbaiki" matematika. Dan saya akan terus menunjukkan itu kepada Anda sampai Anda berhenti berbicara tentang ahli matematika seperti itu. Itu sepenuhnya pilihan Anda.

— Jazzmaniac

itu juga kebohongan, @Jazzmaniac. saya mengatakan bahwa, konsisten dengan apa yang dikatakan ahli matematika kepada kita, fungsi delta Dirac tidak benar-benar fungsi (meskipun kami insinyur listrik tidak khawatir tentang perbedaan itu dan menghadapinya seolah-olah itu adalah fungsi) karena jika itu adalah fungsi fungsi yang nol hampir di mana-mana, integralnya akan nol. mengapa Anda terus salah mengartikan saya? apa kapak yang kamu gerinda?

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson "insinyur listrik bermain sedikit cepat dan longgar dengan fungsi delta Dirac." Paul Dirac adalah seorang insinyur listrik. Claude Shannon juga seorang insinyur listrik. Saya memperingatkan Anda untuk membuat pernyataan yang umum dan tidak akurat. Anda mengaku sebagai insinyur listrik dan memahami teori distribusi dengan jelas.

— Mark Viola

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

1

Saya akan mencoba memberikan intuisi. Cara yang mungkin kita pikirkan adalah: "Satu dirac delta memberi kita 1 dalam domain frekuensi. Sekarang saya memberikan Dirac delta dalam jumlah tak terbatas. Bukankah seharusnya saya mendapatkan DC yang lebih tinggi?" Sekarang mari kita lihat apakah dengan menambahkan semua komponen frekuensi yang disebutkan dalam sisir Dirac dalam domain frekuensi (FD), kita mendapatkan sisir Dirac lain dalam domain waktu (TD). Kami menambahkan bentuk gelombang kontinu dan mendapatkan delta pada titik-titik diskrit. Kedengarannya aneh.

Kembali ke FD. Kami memiliki sisir Dirac dengan spasi $\omega_0$ . Singkatnya, kita memiliki delta di $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ dan seterusnya. Dengan demikian, kami memiliki DC dan jumlah cosinus yang tak terbatas, yaitu $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ dan seterusnya.

Mari kita pertimbangkan poin dalam domain waktu yang terkait dengan $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . Semua gelombang kosinus di atas akan memberi kita nilai 1. Oleh karena itu mereka semua menjumlahkan dan memberi kita nilai tidak nol pada titik-titik itu. Sekarang bagaimana dengan yang lain? Kita perlu yakin bahwa mereka semua akan menambahkan hingga nol.

Sekarang sedikit menyimpang, mari kita pertimbangkan bentuk gelombang $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . Kita tahu bahwa kecuali k dapat dinyatakan sebagai pecahan dikalikan dengan $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
sumber