Apa perbedaan antara penundaan fase dan penundaan kelompok?

41

Saya sedang mempelajari beberapa DSP dan saya mengalami kesulitan memahami perbedaan antara fase penundaan dan keterlambatan kelompok .

Tampak bagi saya bahwa mereka berdua mengukur waktu tunda sinusoid melewati filter.

Apakah saya benar dalam memikirkan ini?
Jika demikian, bagaimana perbedaan kedua pengukuran?
Bisakah seseorang memberikan contoh situasi di mana satu pengukuran akan lebih bermanfaat daripada yang lain?

MEMPERBARUI

Membaca di depan dalam Pengantar Filter Digital Julius Smith , saya telah menemukan situasi di mana dua pengukuran setidaknya memberikan hasil yang berbeda: filter fase afin . Itu jawaban parsial untuk pertanyaan saya, saya kira.

— dB '
sumber

Anda mungkin menemukan halaman ini bermanfaat. Ini menjelaskan keterlambatan grup, dan efeknya, tanpa matematika.

— user5108_Dan

halaman wikipedia menjabarkan definisi dan perbedaan secara matematis. jika Anda memiliki filter fase-linier, kelompok keterlambatan dan fase penundaan adalah nilai yang sama dan hanya penundaan throughput filter. untuk setiap filter umum yang memiliki beberapa gain di DC (yaitu bukan HPF atau BPF dengan dB di DC) dan tidak memiliki pembalikan polaritas di DC, kelompok keterlambatan dan fase penundaan adalah nilai yang sama di dan dekat dengan DC .

- \infty

$-\infty$

— robert bristow-johnson

19

Pertama-tama definisi berbeda:

Fase keterlambatan: (negatif dari) Fase dibagi dengan frekuensi
Grup delay: (negatif dari) Turunan pertama dari fase vs frekuensi

Dengan kata itu berarti:

Fase keterlambatan: Fase sudut pada titik ini dalam frekuensi
Grup delay: Tingkat perubahan fase di sekitar titik frekuensi ini.

Kapan menggunakan salah satu atau yang lain sangat tergantung pada aplikasi Anda. Aplikasi klasik untuk keterlambatan grup adalah gelombang sinus termodulasi, misalnya radio AM. Waktu yang diperlukan sinyal modulasi untuk melewati sistem diberikan oleh kelompok penundaan bukan oleh fase penundaan. Contoh audio lain bisa menjadi kick drum: Ini sebagian besar merupakan gelombang sinus termodulasi jadi jika Anda ingin menentukan berapa banyak kick drum akan ditunda (dan berpotensi dioleskan dalam waktu), keterlambatan grup adalah cara untuk melihatnya.

— Hilmar
sumber

"Fase absolut pada titik ini dalam frekuensi" Bukankah itu hanya disebut "fase"?

— endolith

Maksud saya "absolut" dibandingkan dengan "relatif", tetapi saya melihat bahwa ini dapat dikacaukan dengan "nilai absolut". Saya akan mengeditnya

— Hilmar

satu perbedaan penting terakhir: fase penundaan pada beberapa frekuensi adalah waktu tunda fase sinyal quasi-sinusoidal dari frekuensi melewati filter. yang delay kelompok adalah waktu tunda dari amplop atau " kelompok " dari kuasi-sinusoid.

f

$f$

f

$f$

— robert bristow-johnson

16

Keduanya tidak mengukur seberapa banyak sinusoid tertunda. Fase keterlambatan mengukur hal itu. Keterlambatan grup sedikit lebih rumit. Bayangkan sebuah gelombang sinus pendek dengan amplop amplitude diterapkan sehingga memudar dan memudar, katakanlah, sebuah gaussian dikalikan dengan sinusoid. Amplop ini memiliki bentuknya, dan khususnya, ia memiliki puncak yang mewakili pusat "paket" itu. Group delay memberi tahu Anda berapa banyak amplop amplitude akan tertunda, khususnya, seberapa banyak puncak paket yang akan dipindahkan.

Saya suka memikirkan hal ini dengan kembali ke definisi penundaan kelompok: ini adalah turunan dari fase. Derivatif memberi Anda linierisasi respons fase pada titik itu. Dengan kata lain, pada beberapa frekuensi, keterlambatan grup memberi tahu Anda tentang bagaimana respons fase dari frekuensi tetangga berhubungan dengan respons fase pada titik itu. Sekarang, ingat bagaimana kita menggunakan sinusoid termodulasi-amplitudo. Modulasi amplitudo akan mengambil puncak sinusoid, dan memperkenalkan sideband pada frekuensi tetangga. Jadi, dengan cara tertentu, penundaan grup memberi Anda informasi tentang bagaimana sideband akan ditunda relatif terhadap frekuensi pembawa, dan menerapkan penundaan itu akan mengubah bentuk amplop amplop dalam beberapa cara.

Hal yang gila Filter sebab-akibat dapat memiliki penundaan grup negatif! Ambil gaussian Anda dikalikan dengan sinusoid: Anda dapat membangun sirkuit analog sehingga ketika Anda mengirim sinyal itu, puncak amplop akan muncul di output sebelum input. Tampaknya seperti paradoks, karena akan terlihat bahwa filter harus "melihat" ke masa depan. Benar-benar aneh, tetapi cara untuk memikirkannya adalah karena amplop memiliki bentuk yang sangat mudah diprediksi, filter sudah memiliki cukup informasi untuk mengantisipasi apa yang akan terjadi. Jika lonjakan dimasukkan di tengah sinyal, filter tidak akan mengantisipasi itu. Inilah artikel yang sangat menarik tentang ini: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— schnarf
sumber

Ketika Anda mengatakan "gambar a ...", gambar yang sebenarnya akan sangat membantu di sini.

— Gabriel Staples

9

Bagi mereka yang masih belum bisa membedakannya di sini adalah contoh sederhana

Ambil jalur transmisi panjang dengan sinyal sinus sederhana dengan amplop amplop, , pada inputnya $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Jika Anda mengukur sinyal ini di ujung saluran transmisi, mungkin datang ke suatu tempat seperti ini:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

di mana adalah perbedaan fasa dari input ke output. $\phi$

Jika Anda ingin berapa banyak waktu di dalamnya mengambil fase sinusoid, transmisi dari input ke akhir maka adalah jawaban Anda dalam hitungan detik. $\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

Jika Anda ingin berapa lama waktu yang dibutuhkan dalam amplop , , dari transmisi sinusoid dari input ke akhir maka adalah jawaban Anda dalam detik. $v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Fase keterlambatan hanya waktu perjalanan untuk frekuensi tunggal, sementara penundaan kelompok adalah ukuran distorsi amplitudo jika array frekuensi ganda diterapkan.

— Swapnil Parihar
sumber

3

Fase keterlambatan filter apa pun adalah jumlah waktu tunda setiap komponen frekuensi menderita melalui filter (Jika sinyal terdiri dari beberapa frekuensi.)

Tunda grup adalah waktu tunda rata-rata dari sinyal komposit yang diderita pada setiap komponen frekuensi.

— Saeed
sumber

2

Saya tahu ini adalah pertanyaan yang cukup lama, tetapi saya telah mencari derivasi dari ekspresi untuk keterlambatan grup dan fase penundaan di internet. Tidak banyak derivasi semacam itu ada di internet, jadi saya pikir saya akan membagikan apa yang saya temukan. Perhatikan juga bahwa jawaban ini lebih merupakan deskripsi matematis daripada jawaban intuitif. Untuk deskripsi intuitif, silakan merujuk ke jawaban di atas. Jadi begini:

Mari kita pertimbangkan sinyal dan meneruskannya melalui sistem LTI dengan respons frekuensi Kami telah mempertimbangkan gain dari sistem menjadi satu karena kami tertarik untuk menganalisis bagaimana sistem mengubah fase sinyal input, daripada gain. Sekarang, mengingat bahwa perkalian dalam domain waktu sesuai dengan konvolusi dalam domain frekuensi, Transformasi Fourier dari sinyal input diberikan oleh yang berjumlah Oleh karena itu, output dari sistem memiliki spektrum frekuensi yang diberikan oleh

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$ Sekarang, untuk temukan Fourier Transform terbalik dari ekspresi di atas, kita perlu mengetahui bentuk analitik yang tepat untuk . Jadi, untuk menyederhanakan masalah, kami mengasumsikan bahwa konten frekuensi hanya mencakup frekuensi yang secara signifikan lebih rendah daripada frekuensi pembawa . Dalam skenario ini, sinyal dapat dilihat sebagai sinyal termodulasi amplitudo, di mana mewakili amplop dari sinyal kosinus frekuensi tinggi. Dalam domain frekuensi, sekarang berisi dua pita frekuensi sempit yang berpusat di dan

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$ (lihat persamaan di atas). Ini berarti bahwa kita dapat menggunakan ekspansi deret Taylor urutan pertama untuk . mana Memasukkan ini, kita dapat menghitung transformasi Fourier pada paruh pertama sebagai Mengganti untuk , ini menjadi

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$ yang menyederhanakan menjadi Memasukkan ekspresi untuk dan , ini menjadi Demikian pula setengah lainnya invers Fourier Transform of dapat diperoleh dengan mengganti dengan . Memperhatikan bahwa untuk sinyal nyata, adalah fungsi aneh, ini menjadi

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$ Jadi, dengan menambahkan keduanya secara bersamaan, kita mendapatkan Perhatikan keterlambatan dalam amplop dan sinyal kosinus pembawa. Keterlambatan grup sesuai dengan keterlambatan dalam amplop sementara fase penundaan sesuai dengan keterlambatan dalam carrier. Dengan demikian,

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
sumber