Arti dari bagian Nyata dan Imajiner dari Transformasi Fourier dari suatu sinyal

Katakanlah adalah sinyal waktu , transformasi Fourier dari variabel . $f$ $t$ $F$ $v$

Diketahui bahwa dalam koordinat kutub, memberitahu kita berapa banyak frekuensi hadir lebih sinyal, dan memberitahu kita berapa banyak kontribusi frekuensi ini adalah fase-bergeser. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Informasi apa yang dikatakan oleh bagian nyata dan imajinernya kepada kita?

Atau jika saya merumuskan kembali pertanyaan saya: dapatkah kita memberikan interpretasi transformasi Fourier dalam koordinat Cartesian seperti yang dapat kita lakukan dalam koordinat kutub?

fourier-transform

— pengguna2682877
sumber

Jawaban:

Bagian nyata dan imajiner dari transformasi Fourier dari sinyal adalah transformasi Fourier dari bagian genap dan ganjil dari sinyal, masing-masing: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

$X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L.
sumber

Maaf sudah padat, tapi aku masih belum mengerti. Apa yang Anda maksud dengan "bagian genap dan ganjil" dari suatu sinyal? (Saya juga tidak yakin apa arti panah ganda dalam notasi Anda.)

— natevw

Pembaruan: mungkin ini ada hubungannya dengan fungsi genap dan ganjil, seperti diuraikan di sini: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

Terima kasih, itu mengklarifikasi jawaban Anda dikombinasikan dengan slide intro dari presentasi "simetri" yang saya tautkan di atas!

— natevw

Dan apa yang ada di bagian imajiner / ganjil?

— sssheridan

Jika ada frekuensi yang sama tetapi satu adalah negatif dari yang lain mereka akan membatalkan dan akan ada nol sinyal imajiner.

— Gamaliel
sumber

-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
sumber

Sementara poin Anda tentang bagian resistif / bagian reaktif dalam sistem linear mungkin benar-benar menarik, dalam bentuk saat ini, jawaban Anda berantakan dan sulit dimengerti. Saya downvoting itu

— Antoine Bassoul