Discret Fourier transform simetri

9

Saya sedang membaca bab tentang transformasi Fourier diskrit dalam buku Lyons - Memahami Pemrosesan Sinyal Digital - dan tidak dapat memahami paragraf terakhir tentang simetri.

Ada properti simetri tambahan dari DFT yang pantas disebutkan pada saat ini. Dalam praktiknya, kami sesekali diminta untuk menentukan DFT dari fungsi input nyata di mana indeks input didefinisikan atas nilai positif dan negatif. Jika fungsi input nyata itu genap, maka selalu nyata dan genap; yaitu, jika nyata , maka, secara umum bukan nol dan adalah nol. Sebaliknya, jika fungsi input sebenarnya ganjil, , maka selalu nol dan adalah , secara umum, bukan nol. $n$ $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

Catatan: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

Pertama, apa yang dimaksud dengan "ganjil" dan "genap"? Saya menduga itu adalah jumlah sampel dalam sinyal input, tetapi itu membawa saya ke pertanyaan kedua saya,
Mengapa nol dengan fungsi input real yang genap, dan mengapa, dengan fungsi input real yang ganjil, adalah nol dan umumnya bukan nol? $X_{\textrm{imag}}(m)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

discrete-signals dft

— beberapa pria
sumber

en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions

— endolith

Ya, setelah jawaban Hilmar, saya mengerti itulah yang dimaksud teks.

— someguy

8

Merata & ganjil merujuk pada simetri sekitar . $n = 0$

Bahkan berarti ; Anda bisa mendapatkan part untuk hanya dengan mirroring part untuk pada baris . $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

Ganjil berarti ; Anda bisa mendapatkan bagian untuk hanya dengan meniru bagian untuk pada baris dan mengalikannya dengan . $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

Gelombang cosinus adalah genap, gelombang sinus ganjil.

Ini semua hanya kasus khusus dari simetri umum yang mengatakan

jika itu nyata dalam satu domain, konjugat simetris di domain lain.

Konjugasi simetris berarti bahwa bagian yang sebenarnya adalah genap dan bagian imajiner yang ganjil. Kebanyakan orang tahu bahwa sinyal domain waktu nyata sebagai spektrum simetris konjugat, tetapi juga sebaliknya: sinyal domain waktu simetrik konjugat memiliki spektrum bernilai nyata.

— Hilmar
sumber

Ah, membayangkan gelombang kosinus dan gelombang sinus membantu saya memahami fungsi input ganjil dan genap. Terima kasih.

— someguy

7

Jawaban Hilmar tentu saja sangat benar, tetapi saya pikir ada beberapa poin yang Lyons tidak membahas dalam pernyataan yang dikutip oleh OP (atau mungkin dia membicarakannya sebelumnya dan memilih untuk tidak mengulangi dirinya sendiri dalam paragraf yang dikutip oleh OP) .

Discrete Fourier Transform (DFT) umumnya digambarkan sebagai transformasi urutan panjang terbatas ke dalam urutan lain dengan panjang mana Tapi rumus ini juga dapat digunakan ketika berada di luar kisaran dan jika kita melakukannya, kita sampai pada kesimpulan bahwa panjang- DFT dapat dilihat sebagai transformasi dari a $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$ urutan periodik ke urutan periodik lain , keduanya meluas hingga tak terbatas di kedua arah, dan itu dan hanyalah satu periode dari urutan yang sangat panjang ini. Perhatikan bahwa kita bersikeras bahwa dan untuk semua dan .

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

Ini, tentu saja, bukan bagaimana data sering ditangani dalam praktik. Kami mungkin memiliki urutan sampel yang sangat panjang, dan kami memecahnya menjadi blok dengan panjang sesuai . Kami menghitung DFT dari sebagai DFT dari potongan berikutnya sebagai DFT dari chunk sebelumnya sebagai $N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ dll. dan kemudian kita bermain dengan berbagai DFT dari berbagai potongan tempat kita membagi data kita. Tentu saja, jika data sebenarnya periodik dengan periode , semua DFT ini akan sama.

N

$N$

Sekarang, ketika Lyons berbicara tentang ... di mana indeks input n didefinisikan atas nilai-nilai positif dan negatif ... ia berbicara tentang kasus periodik , dan ketika ia mengatakan bahwa fungsi genap (nyata) memiliki properti , properti ini harus tahan untuk semua bilangan bulat . Karena periodisitas juga berlaku, kita tidak hanya memiliki tetapi , dan juga, . Dengan kata lain, urutan genap asli yang DFT-nya adalah urutan genap asli (seperti dinyatakan oleh Lyons dan dijelaskan dengan sangat baik oleh Hilmar) harus $x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ dari bentuk yang merupakan (terlepas dari terkemuka ) urutan palindromik . Jika Anda mempartisi data Anda menjadi blok dengan panjang dan menghitung DFT dari masing-masing blok secara terpisah, maka DFT yang terpisah ini tidak akan memiliki properti simetri yang dijelaskan di atas kecuali DFT adalah blok dengan properti palindromik ini.

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— Dilip Sarwate
sumber

0

Hanya untuk klarifikasi fungsi genap dan ganjil,

Merata: simetris sehubungan dengan sumbu y Ganjil: simetris sehubungan dengan asal

Dan tanpa masuk ke dalam rincian matematis, DFT dari fungsi bernilai nyata adalah simetris, yaitu fungsi Fourier yang dihasilkan memiliki bagian nyata dan imajiner yang merupakan gambar cermin sehubungan dengan komponen frekuensi 0. Ini tidak terjadi jika Anda mengambil DFT dari fungsi yang kompleks.

— Naresh
sumber

> Even: simetris sehubungan dengan sumbu y Ganjil: simetris sehubungan dengan asal. Bisakah Anda menjelaskan sedikit lebih banyak tentang apa artinya ini, mungkin memberikan contoh fungsi yang Anda anggap bahkan fungsi dan aneh masing-masing? Saya merasa bahwa mungkin definisi Anda memungkinkan suatu fungsi menjadi genap dan ganjil. Apakah begitu?

— Dilip Sarwate

Hai Dilip, Jika suatu fungsi adalah gambar cermin sehubungan dengan sumbu y, bahkan. Misalnya, cosinus adalah gambar cermin sehubungan dengan sumbu Y. Ini bahkan berfungsi. Untuk fungsi yang aneh, ini merupakan refleksi sehubungan dengan asal. Berarti Anda mengambil refleksi sehubungan dengan X dan Y. Seperti fungsi sinus. Anda bisa melihat plotnya dan mengetahui apakah itu fungsi genap atau ganjil.

— Naresh