Apakah Transformasi Laplace berlebihan?

Transformasi Laplace adalah generalisasi dari transformasi Fourier karena Transformasi Fourier adalah transformasi Laplace untuk $s = j\omega$ (yaitu $s$ adalah bilangan imajiner murni = nol bagian nyata dari $s$ ).

Peringatan:

Fourier transform: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Transformasi Laplace: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Selain itu, sebuah sinyal dapat direkonstruksi secara tepat dari transformasi Fourier dan juga transformasi Laplace-nya.

Karena hanya sebagian dari transformasi Laplace diperlukan untuk rekonstruksi (bagian yang ), sisa dari transformasi Laplace ( ) tampaknya tidak berguna untuk rekonstruksi. ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

Apakah itu benar

Juga, dapatkah sinyal direkonstruksi untuk bagian lain dari transformasi Laplace (mis. Untuk $\Re(s)=5$ atau $\Im(s)=9$ )?

Dan apa yang terjadi jika kita menghitung transformasi Laplace dari suatu sinyal, kemudian mengubah hanya satu titik transformasi Laplace, dan menghitung transformasi terbalik: apakah kita kembali ke sinyal asli?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
sumber

Mengapa downvote? Sekalipun pertanyaan itu mungkin mengandung kesimpulan salah, itu adalah sesuatu yang bisa Anda tangani dengan baik dalam komentar atau jawaban. Diam-diam menolak pertanyaan yang tampaknya dilakukan seseorang tidak terlalu konstruktif.

— Jazzmaniac

saya membatalkan pertanyaan. jika saya berpikir dalam hal sudut frekuensi

, maka saya ingin mengatakan Fourier Transform:

dan Laplace Transform:

. maka cukup jelas mereka adalah hal yang sama (agak).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

Transformasi Fourier dan Laplace jelas memiliki banyak kesamaan. Namun, ada beberapa kasus di mana hanya satu dari mereka dapat digunakan, atau di mana lebih nyaman untuk menggunakan satu atau yang lain.

Pertama-tama, meskipun dalam definisi Anda hanya mengganti dengan atau sebaliknya untuk beralih dari satu transformasi ke yang lain, ini umumnya tidak dapat dilakukan ketika diberi Transformasi Laplace atau Transformasi Fourier dari suatu fungsi. (Saya menggunakan indeks yang berbeda karena kedua fungsi dapat berbeda untuk fungsi domain waktu yang sama). Ada fungsi yang hanya transformasi Laplace yang ada, misalnya, , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , di mana adalah fungsi langkah Heaviside. Alasannya adalah bahwa integral dalam definisi Transformasi Laplace hanya menyatu untuk , yang menyiratkan bahwa integral terkait dalam definisi Transformasi Fourier tidak konvergen, yaitu Transformasi Fourier tidak ada dalam kasus. $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Lihat juga jawaban ini untuk pertanyaan terkait.

— Matt L.
sumber

Transformasi Fourier adalah alat yang berguna untuk menganalisis sistem ideal (non-kausal, tidak stabil): Anda dapat mengatakan kausal dan stabil?

— Vinz

@ user17604: Maksud saya apa yang saya tulis. Tentu saja Anda juga dapat menggunakannya untuk sistem kausal dan stabil (dan tidak ideal). Tetapi satu penggunaan penting adalah analisis sistem ideal (seperti filter selektif frekuensi ideal), di mana transformasi Laplace tidak dapat digunakan.

— Matt L.

@MattL. Jawaban yang bagus, tetapi saya menemukan “menganalisis sistem LTI dengan kondisi awal yang tidak nol” membingungkan, bagaimana sistem LTI dapat memiliki kondisi awal yang tidak nol?

@ 0MW: Ya, saya mungkin seharusnya mengatakan "sistem yang sebaliknya LTI (jika awalnya diam)".

— Matt L.