Apa hubungan antara PSD input filter dan output yang disebut?

Jika sinyal diam pengertian luas $X$ diumpankan ke filter LTI dengan fungsi transfer $H$ , kepadatan spektral daya (PSD) dari output $Y$ dapat dinyatakan sebagai:

R_{Y} (f) = {| H (f) |}^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = \left|H(f)\right|^2R_X(f)$

dimana $R_X$ menunjukkan PSD dari $X$ .

Apakah relasi ini memiliki nama yang sama?

transfer-function terminology

— Gilles
sumber

Saya tidak tahu nama hubungannya, tapi $\vert H(f)\vert^2$ disebut fungsi transfer daya dari sistem LTI. Output daya spektrum adalah masukan daya spektrum dikalikan dengan kekuatan fungsi transfer, seperti untuk sinyal deterministik, spektrum output spektrum masukan dikalikan dengan fungsi transfer $H(f)$ .

— Dilip Sarwate
sumber

Untuk menjadi luar biasa, H (f) adalah fungsi respons frekuensi . H (w) adalah fungsi transfer.

— mtrw

@ mtrw Apakah Anda memiliki kutipan untuk mendukung pedantry Anda? Teks klasik Bracewell, The Fourier Transform, dan Aplikasi-Aplikasinya memanggil

H (f)

$H(f)$ fungsi transfer; panggilan teks lain

H (ω)

$H(\omega)$ atau

H (j ω)

$H(j\omega)$ fungsi transfer seperti yang Anda lakukan; yang lain lagi menelepon

H (s)

$H(s)$ fungsi transfer. Jadi, harap berikan kutipan yang menyebutkan panggilan itu

H (f)

$H(f)$ fungsi transfer salah karena nama ini disediakan untuk

H (ω)

$H(\omega)$ .

— Dilip Sarwate

Pertama, saya harus meminta maaf atas kesalahan bodoh. Saya seharusnya mengatakan H (f) adalah FRF, dan H (s) adalah fungsi transfer. Sayangnya saya tidak memiliki salinan Oppenheim, Schafer & Young's Signals and Systems lagi, yang saya ingat pernah belajar ini. Mnemonik yang saya ajarkan adalah bahwa transformasi Fourier dari respons impuls (baik H (f) atau H (jw)), karena dievaluasi untuk sinusoid murni, memberikan respons terhadap frekuensi. Laplace dan z transforms (H (s) atau H (z)) memberikan fungsi transfer.

— mtrw

Relasi yang Anda dapatkan hasil dari teorema Wiener-Khinchin (WK). Teorema WK terutama menghubungkan autokorelasi input dan kerapatan spektral daya (PSD) sebagai pasangan transformasi Fourier. Saya belum pernah mendengarnya disebut dengan nama tertentu selain secara eksplisit mengatakan "Dari teorema WK, kita memiliki bla ..." Dari artikel yang dikutip:

Akibat wajar [dari teorema WK] adalah bahwa transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi dari output sistem LTI sama dengan produk dari transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi input dari sistem dikalikan besarnya kuadrat dari Fourier transformasi respon impuls sistem.

Sementara itu ditulis dan terbukti untuk sinyal (atau fungsi) yang persegi integrable, dan karenanya memiliki transformasi Fourier, itu biasanya digunakan untuk mempelajari proses acak WSS (yang tidak memiliki transformasi Fourier) dengan menghubungkan autokorelasi melalui harapan daripada integral.

— Lorem Ipsum
sumber

Ini adalah respons yang baik, tetapi Anda benar-benar tidak menjawab pertanyaan itu? Saya mendapat kesan bahwa jawaban Anda adalah teorema Wiener-Khincin, tetapi saya kira itu tidak benar. Saya harap saya tidak terlihat pemarah, tetapi pertanyaannya sangat tepat sehingga jawabannya harus / bisa tepat.

— niaren

Saya tidak setuju dengan Wikipedia bahwa hasil yang dimaksud adalah akibat wajar dari teorema WK. Teorema WK mengatakan bahwa PSD dari proses WSS adalah transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi. Ini adalah hasil yang sama sekali berbeda bahwa ketika proses WSS melewati sistem linear, fungsi autokorelasi output terkait dengan autokorelasi input sebagai

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ . Hasil ini memerlukan analisis probabilistik dan mengambil harapan dll. Yang terkait dengan perhitungan yang digunakan untuk membuktikan teorema WK, tetapi hasilnya bukan akibat wajar dari teorema WK

— Dilip Sarwate

Melanjutkan komentar saya sebelumnya, setelah analisis probabilistik telah menetapkan itu

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ , kita dapat menerapkan teorema WK dan berkata

A_{X} (t) \leftrightarrow R_{X} (f)

$A_X(t) \leftrightarrow R_X(f)$ dan

A_{Y} (t) \leftrightarrow R_{Y} (f)

$A_Y(t) \leftrightarrow R_Y(f)$ via WK, sementara

h (t) \leftrightarrow H (f)

$h(t) \leftrightarrow H(f)$ dan

\tilde{h} (t) \leftrightarrow H^{*} (f)

$\tilde{h}(t) \leftrightarrow H^*(f)$ dan sebagainya

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = |H(f)|^2 R_X(f)$ melalui teorema konvolusi yang merupakan pertanyaan OP. Tapi semua ini tidak bisa diterapkan kecuali Anda pertama kali menunjukkannya

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ , dan ini bukan akibat wajar dari teorema WK.

— Dilip Sarwate

@Dilip Saya tidak setuju dengan itu, dan saya tidak pernah membuat klaim bahwa hasil untuk WSS adalah akibat wajar dari WK. Teks yang saya kutip hanya berbicara tentang hubungan antara autokorelasi dan transformasi Fourier untuk input dan output sistem LTI. Itu tidak berbicara tentang WSS. Saya mengklarifikasi tepat di bawahnya, bahwa sementara WK terbukti untuk sinyal persegi yang dapat diintegrasikan, itu digunakan untuk mempelajari WSS menggunakan pendekatan probabilistik dan menghubungkan autokorelasi melalui harapan. Cukup banyak apa yang Anda katakan di sini, tapi saya tidak merinci, karena OP tidak pernah memintanya.

— Lorem Ipsum

@yoda Harap dicatat bahwa saya katakan saya tidak setuju dengan apa yang diklaim Wikipedia, bukan apa yang Anda katakan. Artikel Wikipedia menyatakan bahwa teorema WK berlaku untuk proses WSS, dan kemudian mengklaim hasilnya

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$ adalah akibat wajar dari teorema WK yang tidak benar. Hasil

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$ dapat dibuktikan untuk sinyal deterministik (persegi-integrable) sangat mudah dan kemudian

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$ berikut melalui teorema konvolusi. Untuk proses AMPL, penetapan

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$ membutuhkan analisis probabilistik (seperti yang Anda katakan dengan benar). Lebih lanjut di bawah ini

— Dilip Sarwate