Apakah merupakan sinyal periodik?

Apakah merupakan sinyal periodik? $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$

Jawaban yang diberikan oleh buku berbeda dari jawaban saya. Buku mengatakan itu bukan sinyal periodik. Bisakah kalian memberitahuku mengapa itu bukan sinyal periodik?

Jawabanku:

$\cos(t)$ periodik dengan $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ juga periodik sebagai $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

Karena itu $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ adalah bilangan rasional

Oleh karena itu diberikan adalah sinyal periodik. $x(t)$

periodic

— Pranav Peethambaran
sumber

Buku mana yang mengatakan demikian?

— Matt L.

Pranav: Selamat datang di DSP.SE! Anda telah mengajukan pertanyaan pekerjaan rumah / belajar mandiri dengan cara yang benar: mengajukan pertanyaan, memperjelas bahwa itu adalah pertanyaan buku teks yang Anda coba jawab, dan menunjukkan apa yang menurut Anda jawabannya (atau ditampilkan sebanyak mungkin) kamu mengerti). Sudah selesai dilakukan dengan baik!

— Peter K.

Kesalahan tipografi, belum lagi kesalahan total, tidak diketahui dalam Manual Solusi atau "jawaban untuk masalah nomor ganjil" yang termasuk dalam buku teks karena sementara seorang profesor mungkin telah menulis teks dan dengan hati-hati membacanya, Manual Solusi dan jawaban untuk latihan dikerjakan oleh asisten mahasiswa pascasarjana yang terburu-buru dan tidak diperiksa dengan teliti oleh profesor. Ini bukan untuk mengatakan bahwa profesor dibebaskan dari tanggung jawab atas kesalahan, tetapi hanya sebuah penjelasan mengapa "jawaban buku" tidak dapat dipercaya sebagai kebenaran Injil dalam semua kasus.

— Dilip Sarwate

Terima kasih teman-teman karena telah menghilangkan keraguan saya. Kalian yang terbaik! Terima kasih banyak :) Itu dari buku lembaga pelatihan, salah satu masalah latihan. :)

— Pranav Peethambaran

SE.DSP mengucapkan selamat tahun baru 2017 bagi Anda, dengan sinyal yang mengingatkan bahwa pertanyaan atau jawaban Anda mungkin memerlukan beberapa tindakan (pembaruan, pemberian suara, penerimaan, dll.)

— Laurent Duval

Jawaban:

Seperti untuk setiap $t_0\in\mathbb{R}$ dan $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$ jawaban Anda benar:

x (t)

$x(t)$ berkala.

— Deve
sumber

Untuk menambahkan jawaban pelawan: Jika indeks waktu Anda, $t$ , adalah bilangan bulat, maka sinyal Anda tidak periodik.

Definisi periodik adalah: $x[t]$ , $t\in\mathbb{Z}$ periodik dengan periode $P\in \mathbb{Z}$ iff

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Jadi kita butuh

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$ jadi untuk periodisitas yang kami butuhkan

P = 2 π k

$P = 2\pi k$ dengan

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$ .

Sejak $\pi$ itu tidak rasional, tidak mungkin demikian.

Karenanya komponen pertama dari sinyal Anda tidak bisa periodik, sehingga seluruh sinyal tidak bisa periodik.

— Peter K.
sumber

Tidak perlu P menjadi bilangan bulat, jadi cos (t) = cos (t + P). Untuk sembarang t cos (t) = cos (t + 2π), karena cos (t + 2π) = sin (t) * sin (2π) + cos (t) * cos (2π) = sin (t) * 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg

Bagus! tetapi jika buku itu mengikuti konvensi itu

x (t)

$x(t)$ menunjukkan sinyal waktu kontinu dan

x [t]

$x[t]$ menunjukkan sinyal waktu diskrit dengan

t

$t$ hanya mengambil nilai integer, maka itu tidak berlaku ....

— Dilip Sarwate

@Stoleg: Tidak,

P

$P$ harus berupa bilangan bulat dalam kasus ini. Karena indeks

x

$x$ harus berupa bilangan bulat untuk sinyal waktu diskrit. Jika tidak

x [t + P]

$x[t+P]$ tidak terdefinisi.

— Peter K.

@LaurentDuval: Terima kasih! Ya, sinyal waktu kontinu jelas periodik

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$ , untuk

t \in R

$t\in\mathbb{R}$ dan

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$ . Dan, seperti yang Anda katakan, versi sampel (versi waktu diskrit) tidak periodik, tetapi versi yang direkonstruksi adalah (asalkan kita mengambil sampel dengan cukup cepat ... meskipun mungkin versi + yang direkonstruksi alias mungkin juga bersifat berkala ... hmmm. ).

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

The formula ganda-angle untuk identitas trigonometri memberitahu Anda bahwa $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ .

You thus ave $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ . Hence, your signal is composed of functions (as adds and multiplies) that all admit $4\pi$ as a period (yes, the constant function $x\to 1$ is $4\pi$ periodic as well).

Thus your function looks very periodic.

— Laurent Duval
sumber