Mengapa sistem linear menunjukkan kesetiaan sinusoidal?

9

Saya mencari bukti kesetiaan sinusoidal. Dalam DSP kami banyak belajar tentang sistem linear. Sistem linear bersifat homogen dan aditif. Satu lagi kondisi yang memuaskan adalah bahwa jika sinyal adalah gelombang sinus atau cos maka output hanya mengubah fase atau amplitudo. Mengapa? Mengapa tidak bisa output menjadi output yang sama sekali berbeda ketika gelombang sinus diberikan sebagai input?

— Hobyist
sumber

1

Selamat datang di DSP. Pertanyaan bagus!

— Phonon

5

Pemahaman Anda tidak lengkap. Sistem linier (yang berarti homogen dan aditif) tidak harus memiliki sifat bahwa input sinusoid menghasilkan sinusoid dengan frekuensi yang sama tetapi amplitudo dan fasa yang mungkin berbeda. Anda perlu menerapkan batasan lebih lanjut bahwa sistem ini juga invarian waktu. Misalnya, jika input menghasilkan output , sistemnya homogen dan aditif, dan karenanya linier, tetapi tidak memenuhi SISO (sinusoid in-sinusoid out) ) Properti.

x (t)

$x(t)$

x (t) \cos (2 π 10^{9} t)

$x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$

— Dilip Sarwate

Dilip (atau seseorang) harus menjawab: "Tidak." Hanya sistem linier invarian waktu yang melakukannya.

— hotpaw2

2

Sama seperti catatan, cara lain untuk mengungkapkan pertanyaan ini adalah "Mengapa fungsi eigen eksponensial dari sistem linear time-invariant?"

— Jason R

8

Pelengkap yang agak visual untuk jawaban lainnya

Anda berbicara tentang sistem yang linear dan tidak berubah-ubah waktu.

Fungsi eksponensial memiliki satu properti khusus (dan dapat benar-benar didefinisikan olehnya): melakukan terjemahan waktu menghasilkan fungsi yang sama dikalikan dengan konstanta. Begitu

e^{t - t_{0}} = e^{- t_{0}} e^{t}

$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$

Grafik Mathematica

Eksponensial merah juga bisa menjadi yang biru dibagi dengan $e$ atau bergerak 1 detik ke kanan

Secara umum, ini juga berlaku untuk eksponensial yang kompleks

Dapatkah Anda membayangkan plot harmonik yang kompleks seperti $x(t)=e^{j2\pi t}$ ? Jika demikian, Anda akan melihatnya seperti pegas: berputar di sepanjang bidang kompleks seiring berjalannya waktu.

Grafik Mathematica

Memutar pegas itu (mengalikan dengan angka kompleks dalam lingkaran unit) sama dengan menerjemahkannya. Anda mungkin pernah mengalami efek visual ini dalam hidup Anda

masukkan deskripsi gambar di sini

Ini adalah prinsip dari sekrup standar juga.

Asumsikan kita memasukkan ini dalam sistem invarian waktu linier. Anda mendapatkan output Sekarang, masukkan versi yang diputar dari pegas ini. Karena linearitas, output harus diputar dengan jumlah yang sama. Tetapi karena rotasi setara dengan terjemahan waktu, dan sistem ini invarian waktu, output juga harus -diterjemahkan oleh waktu dengan jumlah yang sama. Jadi, harus memenuhi properti yang sama dengan input: memutarnya harus sama dengan terjemahan waktu tertentu. Ini hanya terjadi ketika output adalah kelipatan pegas aslinya. $y$ $y$ $y$ $y$

Berapa banyak terjemahan? Yah, itu berbanding lurus dengan rotasi seperti yang akan terjadi dengan pegas. Semakin erat loop pegas (semakin cepat berputar), semakin sedikit waktu yang diterjemahkan untuk rotasi tertentu. Semakin erat loop sekrup, semakin banyak putaran yang harus Anda lakukan agar pas sepenuhnya. Dan, ketika setengah dari putaran dilakukan, sekrup akan menjadi setengah jalan ... Output harus memenuhi hubungan yang sama sehingga, pegas keluaran berputar pada frekuensi yang sama dengan input. $y$

Akhirnya, pengingat

\cos (t) = \frac{e^{j t} + e^{- j t}}{2}

$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$

dosa (t) = \frac{e^{j t} - e^{- j t}}{2 j}

$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$

Jadi, hal yang terjadi dengan eksponensial sebenarnya tidak perlu terjadi dengan cosinus dan sinus dalam kasus yang paling umum. Tetapi jika sistemnya juga nyata, itu cerita yang berbeda ...

Secara umum, dengan alasan yang sama, setiap eksponensial merupakan "fungsi eigen" (output sebanding dengan input) dari sistem invarian waktu linier. Itu sebabnya untuk sistem ini transformasi Z dan transformasi Laplace sangat berguna

— Rojo
sumber

Bagaimana / Dari mana Anda mendapatkan animasi itu?

— Spacey

@Mohammad mengambilnya dari halaman wikipedia pada sekrup Archimedes

— Rojo

Di mana Anda mendapatkan plot pembuka botol itu? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— endolith

@endolith oh saya baru saja melakukannya di Mathematica. Anda lebih baik;)

— Rojo

4

Pertimbangkan sistem dengan input dan output . Meminjam notasi dari jawaban Lars1, kami menyatakan hubungan ini . Sistem ini dikatakan sebagai sistem linear time-invariant (LTI) jika memenuhi properti berikut: $x(t)$ $y(t)$ $x(t) \to y(t)$

H. Jika , maka . $x(t) \to y(t)$ $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$

A. Jika dan , maka $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. Jika , maka untuk bilangan real . $x(t) \to y(t)$ $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ $\tau$

Properti H dan A sama dengan Properti L

L. Jika dan , maka . $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$

Input periodik ke sistem invarian-waktu menghasilkan output periodik
Misalkan adalah sinyal periodik dengan periode , yaitu, untuk semua bilangan bulat . Kemudian, dari Properti T , maka segera bahwa juga merupakan sinyal periodik dengan periode . Dengan demikian, kita dapat mengekspresikan sebagai seri Fourier: $x(t)$ $T$ $x(t-nT) = x(t)$ $n$ $y(t)$ $T$ $y(t)$

manaadalah frekuensi dasar.

y (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω t) + b_{n} \sin (n ω t)

$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$

ω = 2 π / T

$\omega = 2\pi/T$

Karena dan adalah sinyal periodik, kami memilikinya untuk setiap sistem invarian waktu, baik linier atau tidak, $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$ Bahkan, untuklinearsistem waktu-invariant (LTI),semuayangdanadalah nolkecuali untuk

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t) + q_{n} \sin (n ω t) \\ \sin (ω t) & \to \frac{r_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{n} \cos (n ω t) + s_{n} \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{n}, q_{n}, r_{n},

$p_n, q_n, r_n,$

s_{n}

$s_n$

. Untuk mengetahui mengapa demikian, mari kita hitung respons sistem LTI terhadap

dengan dua cara berbeda dan bandingkan hasilnya.

p_{1}, q_{1}, r_{1}, s_{1}

$p_1, q_1, r_1, s_1$

\cos (ω t - θ)

$\cos(\omega t - \theta)$

Karena , kita dapatkan dari Properti L dan persamaan di atas yang $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$ Di sisi lain, karena hanyalah versi tertunda, dari Property

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0} \cos (θ) + q_{0} \sin (θ)}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (θ) + s_{n} \sin (θ)) \sin (n ω t) . \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$

\cos (ω t - θ) = \cos (ω (t - θ / ω))

$\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$

\cos (ω t)

$\cos(\omega t)$ T kita mendapatkan

Dua seri Fourier ini harus sama tidak peduli berapa pun nilai

kita pilih. Membandingkan koefisien, kita melihat bahwa

bisa tidak sama

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t - n θ) + q_{n} \sin (n ω t - n θ) \\ = \frac{p_{0}}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (n θ) + p_{n} \sin (n θ)) \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$

θ

$\theta$

p_{0} / 2

$p_0/2$

untuk semua

kecuali

. Demikian pula, untuk

,

tidak dapat sama dengan

dll. Untuk semua

kecuali

(p_{0} \cos (θ) + r_{0} \cos (θ)) / 2

$(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$

θ

$\theta$

p_{0} = r_{0} = 0

$p_0 = r_0 = 0$

n > 1

$n > 1$

p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)

$p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$

p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)

$p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$

θ

$\theta$

. Namun, untuk

,

menyiratkan bahwa

, dan juga,

. Dengan kata lain, untuk sistem LTI,

p_{n} = q_{n} = r_{n} = s_{n} = 0

$p_n = q_n = r_n = s_n = 0$

n = 1

$n=1$

p_{1} \cos (θ) - q_{1} \sin (θ) = p_{1} \cos (θ) + r_{1} \sin (θ)

$p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$

r_{1} = - q_{1}

$r_1 = -q_1$

s_{1} = p_{1}

$s_1 = p_1$

Sekarang,

mana

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) \\ \sin (ω t) & \to - q_{1} \cos (ω t) + p_{1} \sin (ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) = B \cos (ω t - ϕ)

$p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$

dan

. Karena itu, PropertiesTdanHmemberi kita

Setiapsinusoid frekuensi

rad / s dapat dinyatakan sebagai

B = \sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}}

$B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$

ϕ = \arctan (q_{1} / p_{1})

$\phi = \arctan(q_1/p_1)$

A \cos (ω t - θ) \to A B \cos (ω t - ϕ - θ) .

$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$

ω

$\omega$

untuk pilihan

dan

, dan itulah hasil yang kita butuhkan.

A \cos (ω t - θ)

$A\cos(\omega t - \theta)$

A

$A$

θ

$\theta$

Properti SISO dari sistem linear time-invariant: Jika input ke sistem LTI adalah sinusoid, outputnya adalah sinusoid dengan frekuensi yang sama tetapi amplitudo dan fasa yang mungkin berbeda.

Ini bukan hasil yang diinginkan OP - dia ingin bukti bahwa sistem linier (yang mana Properti H dan A (ekuivalen, Properti L ) berlaku tetapi tidak harus Properti T ) memiliki properti SISO, tetapi sebagai pengembangan menunjukkan di atas, Properti T harus tahan untuk membuktikan hasil yang lebih lemah bahwa input periodik menghasilkan output periodik.

Sebagai komentar terakhir, perhatikan bahwa tidak perlu menggunakan bilangan kompleks atau teorema konvolusi atau Transformasi Fourier atau LaPlace, impuls, fungsi eigen dll untuk membuktikan properti SISO. Ini mengikuti dari Properties L dan * T dan identitas trigonometri

\cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) .

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$

— Dilip Sarwate
sumber

Apa yang akan terjadi jika

tidak periodik (tidak periodik bisa terjadi untuk frekuensi tidak seimbang)? Perlu

terbatas? Bisakah kita mendapatkan sesuatu dalam hal generalitas dengan mensyaratkan

harus dapat diintegrasikan dengan kuadrat dalam interval waktu pengamatan?

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

— Lars1

@ Lars1 Jika input ke sistem LTI tidak periodik , outputnya juga tidak periodik. Sebagai kasus khusus, jika

mana

tidak rasional (dan inputnya tidak periodik), maka dari Properti L kami memiliki

x (t) = A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t)

$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$

ω_{1} / ω_{2}

$\omega_1/\omega_2$

yang outputnya juga tidak periodik. Jadi tidak ada masalah.

{SEBUAH}_{1} \cos (ω_{1} t) + \SEBUAH_{2} \cos (ω_{2} t) \to {SEBUAH}_{1} B_{1} \cos (ω_{1} t - ϕ_{1}) + \SEBUAH_{2} B_{2} \cos (ω_{2} t - ϕ_{2})

$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$

— Dilip Sarwate

@Sarwate: Tidak cukup apa yang saya katakan, maaf. Bertanya-tanya apakah misalnya

akan ditangani oleh kasus di atas. Jika kita memerlukan interval waktu pengamatan yang terbatas dengan

sinyal persegi yang dapat diintegrasikan dapat ditulis sebagai deret Fourier dalam interval pengamatan. Untuk

terbatas,ini mungkin pendekatan yang paling umum dan derivasi Anda masih berlaku sejauh yang saya bisa lihat. Jelas seri Fourier mendekati pasukan periodisitas luar

tetapi jika kita hanya peduli tentang sinyal

ini tidak terlalu penting.

x (t) = \cos (π t) + \cos (\sqrt{2} t)

$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$

t \in T = [0; T]

$t\in\mathbb{T}=[0;T]$

T

$T$

T

$\mathbb{T}$

t \on t

$t\on\mathbb{t}$

— Lars1

@ Lars1 Saya tidak setuju dengan komentar Anda bahwa periodisitas yang dipaksakan di luar

tidak masalah. Jika input

menghasilkan output

dalam sistem LTI, maka menerapkan properti SISO ke seri Fourier tidak memberikan

terbatas pada

. Sebaliknya, apa yang diperoleh adalah satu periode dari respon periodik

dengan sinyal periodik

[0, T]

$[0, T]$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

y (t)

$y(t)$

[0, T]

$[0,T]$

\hat{y} (t)

$\hat{y}(t)$

di mana untuk setiap kali instan

,

Dengan kata lain,segmen

dari

diulang secara berkala (dengan periode

) di sepanjang sumbu waktu.

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$

t

$t$

- \infty < t < \infty

$-\infty< t < \infty$

\hat{x} (t) = x (t mod T) .

$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

T

$T$

— Dilip Sarwate

Misalnya dalam sistem RF nonlinear kita sering memilih jumlah sinusoidal yang tidak seimbang untuk memastikan pemetaan frekuensi yang unik dari input ke output. Ini menghasilkan sinyal non-periodik, dan saya hanya ingin tahu mengapa Anda harus menganggap periodisitas di atas yang bagi saya tampaknya mengecualikan sinyal yang paling relevan secara praktis. Integable persegi

dan

dalam interval observasi terbatas dapat ditulis sebagai deret Fourier. Saya tidak (berniat) mengklaim bahwa

didefinisikan pada interval yang sama untuk

dan

BTW dan

bisa menjadi versi offset waktu. Saya akan berhenti di sini untuk menghindari kebingungan lebih lanjut.

x (t)

$x(t)$

y (τ)

$y(\tau)$

t

$t$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

— Lars1

3

Inilah gagasan buktinya. Mari kita asumsikan kita dapat menggambarkan output suatu sistem dengan konvolusi,

y (t) = \int k_{t} (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$k_t(t)$ $t$ $k_t(t)$ $k_t$ $t$

y (t) = \int k (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$f(t)$ $f(t) = e^{i\omega t}$

y (t) = \int k (t - τ) e^{saya ω τ} d τ = \int k (τ) e^{saya ω (t - τ)} d τ = e^{saya ω t} \int k (τ) e^{- saya ω τ} d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

$t$ $K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

Jadi, kami telah menemukan itu

y (t) = K (ω) e^{saya ω t}

$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$

$y(t)$ $K(\omega)$ $t$

$s$

Sekarang, ambil Transformasi Laplace, untuk mengakhiri (karena Transformasi Laplace membutuhkan konvolusi menjadi multiplikasi),

Y (s) = K (s) F (s)

$Y(s) = K(s) F(s)$

$f$ $f(t)=e^{i\omega t}$ $\omega$ $F(s) = \delta_{w}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} (s) = K (ω) δ_{ω} (s)

$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$

$K(\omega)$ $y(t)$

Kebetulan, saya baru saja memperhatikan Anda dapat menemukan ide yang sama ditulis dalam domain waktu di Wikipedia . Penjelasan tingkat yang lebih tinggi (yang dapat Anda abaikan jika terlalu matematis) adalah bahwa teori sistem linear didefinisikan melalui operasi konvolusi, yang didiagonalisasi oleh transformasi Fourier. Dengan demikian, sistem yang inputnya merupakan vektor eigen dari operator transformasi Fourier hanya akan menghasilkan versi skala inputnya.

— ya
sumber

s

$s$

ω

$\omega$

δ_{ω} (s)

$\delta_{\omega}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} s)

$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$

@DilipSarwate Saya menduga dia menggunakan notasi Transformasi Laplace bukan notasi Fourier.

— Jim Clay

@sydeulissie Masalahnya adalah Anda menyatakan bahwa K (w) adalah "hanya bilangan kompleks", tetapi Anda belum mengatakan mengapa itu hanya bilangan kompleks pada setiap frekuensi. Itulah jantung buktinya.

— Jim Clay

3

Ini memiliki garis besar yang benar tetapi banyak masalah dalam detailnya. Tidak downvoting, tetapi harus diperbaiki.

— Telepon

1

$x_1(t)$ $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ $x_2(t)$ $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$

Sebuah \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t) \to y (t) = G (Sebuah \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)) = Sebuah \cdot G (x_{1} (t)) + b \cdot G (x_{2} (t)) = Sebuah \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$a$ $b$

Dari definisi linearitas dan lebih lanjut yang memerlukan sistem invarian waktu, kita dapat langsung melihat bahwa dua (atau lebih sinyal) tidak dapat mengganggu dan menghasilkan komponen frekuensi baru sambil tetap mematuhi persyaratan linearitas. Prinsip superposisi juga mengikuti langsung dari definisi linearitas.

Juga dari definisi linearitas, konsep konvolusi untuk sistem invarian waktu linier mengikuti. Untuk sistem nonlinier kita misalnya memiliki seri Volterra yang merupakan integral konvolusi multi-dimensi - integral konvolusi 1-dimensi adalah kasus khusus dari seri Volterra. Ini jauh lebih rumit daripada teknik linier sekalipun. Tetapi berdasarkan integral konvolusi untuk sistem linear, derivasi mengikuti yang ditunjukkan oleh @sydeulissie.

${\cal G}: y(t) = x^2(t)$ $x_1(t)$ $y_1(t) = x_1^2(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t) = x_2^2(t)$ $y(t)$

y (t) = {Sebuah \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)}^{2} = {Sebuah}^{2} \cdot x_{1}^{2} (t) + b^{2} \cdot x_{2}^{2} (t) + 2 \cdot Sebuah \cdot b \cdot x_{1} (t) \cdot x_{2} (t)

$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$

atau:

y (t) = a^{2} \cdot y_{1} (t) + b^{2} \cdot y_{2} (t) \pm 2 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_{1} (t) \cdot y_{2} (t)} \neq a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$x^2$ $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ ke sistem ${\cal G}$ kami memiliki output:

y (t) = x^{2} (t) = {SEBUAH}^{2} \cdot \cos^{2} (2 π f_{0} t + ϕ_{0}) = \frac{{SEBUAH}^{2}}{2} + \frac{{SEBUAH}^{2}}{2} \cdot \cos (2 π 2 f_{0} t + 2 ϕ_{0})

$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$

Output di sini berisi komponen DC dan komponen lain di frekuensi $2f_0$ . Fungsi nonlinear $x^2$ sehingga menghasilkan komponen frekuensi baru.

Kesimpulannya dapat diamati bahwa sistem linear dapat menghasilkan komponen frekuensi yang tidak ada dalam input (jika sistem adalah varian waktu). Jika sistem invarian waktu linier, output tidak dapat memasukkan komponen frekuensi yang tidak ada dalam input.

Terima kasih kepada @Sarwate untuk komentar paling relevan.

— Lars1
sumber

Kamu benar. Saya lupa menyebutkan bahwa saya merujuk ke sistem invarian waktu. Contoh yang Anda berikan adalah sistem yang bervariasi waktu di mana contoh Anda tidak berlaku. Biasanya sinyal seperti itu

\cos (t)

$\cos(t)$ diterapkan pada port eksternal sebagai sinyal di mana linieritas tidak terpenuhi. Saya telah mencatat bagian waktu yang tidak berubah dalam jawaban di atas.

— Lars1

@DilipSarwate Jadi, apakah hanya sistem LTI yang memiliki properti itu?

— Telepon

Hanya memeriksa beberapa buku untuk berada di sisi yang aman. Sebenarnya sepertinya ada beberapa perbedaan dalam detailnya. Satu definisi dalam buku Yang dan Lee tentang sistem sirkuit dari 2007 mengatakan: "Suatu sistem dikatakan linier jika prinsip superposisi berlaku, yaitu outputnya ke kombinasi linear dari beberapa input acak adalah sama dengan kombinasi linear dari output ke input individu ". Dalam hal itu, contoh Sarwate adalah linier - tetapi tidak invarian waktu. Wasit lain kurang tepat. Terima kasih kepada @Sarwate.

— Lars1

1

Komentar yang dirujuk oleh Lars1 dengan kesalahan ketik diperbaiki: Pertimbangkan sistem yang menghasilkan output

x (t) \cos (t)

$x(t)\cos(t)$ dari input

x (t)

$x(t)$ . Kemudian,

a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$ax_1(t)+bx_2(t)$ menghasilkan output

(Sebuah x_{1} (t) + b x_{2} (t)) \cos (t) = Sebuah \cdot x_{1} (t) \cos (t) + b \cdot x_{2} (t) \cos (t)

$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$ sehingga sistemnya linear tetapi tanpa properti yang diklaim.

— Dilip Sarwate

@Sarwate Bagaimana sistem yang menghasilkan output x (t) cos (t) waktu bervariasi? Saya seorang pemula di DSP

— Hobyist

1

Seperti yang Dilip Sarwate tunjukkan, hanya sistem linear shift-invariant (LSIV) yang memiliki properti SISO (sinusoid in-sinusoid out).

Jawaban singkat untuk pertanyaan Anda adalah eksponensial kompleks $e^{\jmath \omega t}$ Are adalah fungsi eigen dari sistem LSIV. Dengan definisi fungsi eigen, jika inputnya adalah fungsi eigen (sinus / cos dapat diwakili oleh eksponensial kompleks sesuai dengan rumus Euler), output hanyalah produk dari input dan nilai eigen yang sesuai, yang bisa berupa bilangan kompleks, dan itu dari mana perubahan fase / amplitudo berasal.

— chaohuang
sumber