Pengambilan sampel fungsi kontinu: delta Kronecker atau Dirac?

Saya telah membaca beberapa makalah dalam pemrosesan sinyal dan saya sangat bingung tentang masalah dalam judul pertanyaan saya. Pertimbangkan fungsi kontinu waktu , , bahwa saya sampel pada waktu yang tidak rata , di mana . Bagi saya, masuk akal bahwa fungsi sampel adalah: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ di mana adalahKronecker inidelta (sama dengan saat , nol di tempat lain). Namun,dalam makalah ini, penulis mendefinisikan sinyal sampel sebagai:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

mana

adalah fungsi delta Dirac dan saya benar-benar tidak mengerti mengapa

muncul di sini (penulis klaim bahwa fungsi pengambilan sampel sebenarnya adalah jumlah tertimbang dari delta fungsi

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

dan di sini ia memilih

. Saya benar-benar tidak mengerti mengapa). Pernyataan terakhir ini tidak masuk akal bagi saya: sinyal sampel akan memiliki amplitudo tak terbatas pada

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
sumber

Pemodelan proses pengambilan sampel melalui penggandaan sinyal waktu kontinu oleh kereta Impuls Dirac adalah interpretasi paling umum dalam pengalaman saya. Jika Anda menggali cukup dalam, Anda akan menemukan beberapa ketidaksepakatan tentang ketepatan matematika dari pendekatan ini *, tetapi saya tidak akan khawatir tentang hal itu; itu hanya model yang nyaman untuk proses tersebut. Tidak ada generator impuls di dalam ADC ponsel Anda yang menghasilkan sambaran petir berkala yang melipatgandakan input analognya.

Seperti yang Anda catat, Anda tidak dapat menghitung transformasi Fourier waktu kontinu dari fungsi delta Kronecker, karena domainnya tidak kontinu (terbatas pada bilangan bulat). Fungsi Dirac delta, sebaliknya, memiliki transformasi Fourier sederhana, dan efek mengalikan sinyal dengan kereta Impuls Dirac mudah ditunjukkan karena sifat pengayakannya.

*: Sebagai contoh, jika Anda akan tepat secara matematis, Anda akan mengatakan bahwa delta Dirac sama sekali bukan fungsi, melainkan distribusi . Tetapi pada tingkat teknik, masalah ini benar-benar hanya semantik.

Sunting: Saya akan membahas komentar di bawah ini. Anda memberikan model mental proses pengambilan sampel Anda sebagai:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

itu tidak benar. Sebaliknya, model untuk sinyal sampel adalah:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

yang persis definisi dari transformasi Fourier diskrit-waktu .

— Jason R
sumber

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$