Cara membangun pemindah fase dengan pemindahan fase sewenang-wenang

Fred, seorang insinyur DSP, pergi ke toko DSP favoritnya untuk berbelanja.

Fred: Hai, saya ingin membeli phase shifter.

Asisten toko: Hmm, apa maksudmu sebenarnya?

Fred: Ya, Anda tahu, jika Anda memasukkan sinusoid seperti Anda mendapatkan pada output, untuk setiap . Dan tentu saja, harus disesuaikan. $x(t)=\sin(\omega_0t)$ $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ $\omega_0$ $\theta$

Asisten toko: Oh, begitu. Maaf, tidak, kami tidak punya itu. Tapi saya ingat orang lain membutuhkan hal yang sama, dan mereka selalu membeli transformator Hilbert, beberapa pengganda, dan penambah, dan mereka entah bagaimana menghubungkan semua hal ini bersama-sama untuk membuat fase shifter yang dapat disesuaikan.

Fred: Oh ya, benar!

Fred pura-pura mengerti apa yang dibicarakan pria itu. Tentu saja dia tidak tahu bagaimana melakukannya. Dia membeli semua yang dikatakan pria itu dia butuhkan, dan berpikir sendiri bahwa dia mungkin mencari tahu di rumah, atau, semua yang gagal, dia bisa menanyakannya di DSP.SE.

Bagaimana Fred membangun pemindah fasa dengan pemindah fasa yang dapat disesuaikan menggunakan komponen yang didapatnya di toko? $\theta$

phase hilbert-transform dsp-puzzle

— Matt L.
sumber

Yang bagus! Tolong jelaskan jika fase harus sama untuk semua frekuensi (lebih dari pita yang diberikan) atau jika penundaan sewenang-wenang konstan akan cukup (mengingat frekuensi apa pun, Anda dapat menetapkan fase, tetapi fase akan berubah secara linear dengan frekuensi). Saya pikir saya tahu jawaban untuk kedua kasus tetapi akan menunggu beberapa hari untuk melihat apa lagi yang muncul!

— Dan Boschen

Toko yang sedang Anda bicarakan ini ... di sebelah Hilbert's Hotel, bukan?

— M529

Satu-satunya transformer Hilbert yang layak yang ditebar oleh toko-toko di sekitar sini tampaknya mengalami keterlambatan input yang besar. Saya memang melihat beberapa yang lebih cepat dalam katalog mesin waktu, tetapi ulasan Yelp untuk vendor itu tampaknya memiliki 0 bintang.

— hotpaw2

@DanBoschen: Setiap input sinusoidal akan digeser oleh

, terlepas dari frekuensinya. Jadi fase delay berbeda untuk setiap frekuensi.

θ

$\theta$

— Matt L.

@ hotpaw2: Abaikan saja bintang-bintang itu dan dapatkan satu dengan cepat sebelum habis terjual!

— Matt L.

Jawaban:

Pertanyaan bagus! Ia menggunakan salah satu identitas trigonometri favorit saya (yang juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa modulasi quadrature sebenarnya adalah amplitudo dan modulasi fase simultan).

$\sin(2\pi f_0t)$ $-\cos(2\pi f_0t)$
$\sin (2 π f_{0} t + θ) = a \sin (2 π f_{0} t) + b \cos (2 π f_{0} t)$ $\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$ $a^2+b^2=1$ $\theta=\text{atan2}(b,a)$ $\theta=2.1$ $\tan(2.1)\approx-1.71$ $a$ $b$ $a^2+b^2=1$ $b/a=-1.71$ $a<0$ $b>0$ $a_0=-1$ $b_0=1.71$ $n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ $a=a_0/n$ $b=b_0/n$ $a$ $-b$

Respons impuls sistem yang dijelaskan di atas diberikan oleh:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Diagram blok:

— MBaz
sumber

a

$a$

b

$b$

\cos θ

$\cos\theta$

\sin θ

$\sin\theta$

Untuk klarifikasi, dapatkah Anda menambahkan tanggapan impuls dan / atau frekuensi dari total sistem?

— Matt L.

MBaz yang sangat bagus, ini sesuai dengan apa yang saya pikirkan - pada dasarnya "vektor modulator" yang merupakan komponen yang dibeli untuk tujuan ini (sebagai satu aplikasi). Namun Transformer HIlbert tidak dapat dibeli sebagai komponen nyata tanpa membatasinya menjadi terbatas-band (atau saya kira pengguna bisa mendapatkan transformator yang berbeda untuk setiap band yang diminati). Saya sekarang sangat tertarik melihat solusi Matt jika berbeda karena hanya itu yang bisa saya dapatkan.

— Dan Boschen

a

$a$

b

$b$

@ DanBoschen Ya, saya menganggap transformator Hilbert ideal, yang menurut saya tidak masalah untuk teka-teki ini. Saya juga tertarik melihat solusi alternatif Matt.

— MBaz

Jawaban MBaz benar. Saya hanya ingin menambahkan cara lain untuk memikirkannya, tentu saja mengarah pada hasil yang sama:

$\theta$
$H (ω) = {\begin{cases} e^{- j θ}, & ω > 0 \\ e^{j θ}, & ω < 0 \end{cases}$ $H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$ $H (ω) = e^{- j θ sign (ω)} = \cos (θ) - j sign (ω) \sin (θ)$ $H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ $g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $h (t) = \cos (θ) δ (t) + \sin (θ) \frac{1}{π t}$ $h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$ $\sin(\theta)$ $\cos(\theta)$

$2N+1$ $N$

— Matt L.
sumber

Penjelasan yang bagus - mitra domain frekuensi dari solusi domain waktu saya.

— MBaz

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$