Mengapa sistem LTI tidak dapat menghasilkan frekuensi baru?

9

Mengapa $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$ menyiratkan bahwa sistem LTI tidak dapat menghasilkan frekuensi baru?
Mengapa jika suatu sistem menghasilkan frekuensi baru, maka itu bukan LTI?

convolution time-frequency

— PENGGUNA
sumber

15

Salah satu fitur pasti dari sistem LTI adalah bahwa mereka tidak dapat menghasilkan frekuensi baru yang belum ada dalam input mereka. Harap dicatat bahwa dalam konteks ini frekuensi mengacu pada sinyal dari tipe $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ atau $\cos(\Omega_0 t)$ yang berdurasi tak terbatas , dan juga disebut sebagai fungsi eigen dari sistem LTI (khusus untuk hanya kompleks eksponensial) dan yang transformasi CT Fourier diekspresikan oleh fungsi impuls dalam domain frekuensi sebagai $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ atau $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ berulang.

Salah satu cara untuk melihat mengapa demikian, datang dengan mengamati CTFT, , dari output , yang diberikan oleh hubungan yang diketahui saja ketika sistem LTI (dan juga stabil sebagai fakta sehingga ada). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(yaitu hanya berlaku ketika respon impuls ada dan itu akan ada hanya ketika sistem LTI.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

Dari sedikit pemikiran, dipandu oleh plot grafis sederhana, dan menggunakan properti perkalian di atas, orang dapat melihat bahwa wilayah frekuensi dukungan (set frekuensi yang adalah tidak nol), dari output diberikan oleh persimpangan wilayah dukungan dan dari input dan respons frekuensi dari sistem LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

Dan dari set aljabar kita tahu bahwa jika maka dan . Artinya, persimpangan selalu kurang atau setara dengan apa yang sedang persimpangan. Oleh karena itu, wilayah dukungan untuk akan kurang dari atau paling tidak sama dengan dukungan . Karenanya tidak ada frekuensi baru yang akan diamati pada output. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Karena properti ini adalah kondisi yang diperlukan untuk menjadi sistem LTI , maka sistem apa pun yang gagal memilikinya, oleh karena itu, tidak boleh LTI.

— Fat32
sumber

9

Anda dapat membuat argumen aljabar sederhana, mengingat premis yang Anda berikan. Jika:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

di mana adalah spektrum sinyal input dan ) adalah respon frekuensi sistem, maka jelas bahwa jika ada beberapa dalam sinyal input yang , maka juga; tidak ada faktor yang bisa Anda gandakan dengan menghasilkan nilai bukan nol. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Dengan mengatakan itu, membangun kebenaran premis saya mulai dengan di atas untuk sistem LTI memang butuh beberapa pekerjaan. Namun, jika kita menganggapnya benar, maka fakta bahwa sistem LTI tidak dapat memperkenalkan komponen frekuensi baru ke outputnya langsung mengikuti.

— Jason R
sumber

buktinya adalah untuk menunjukkan bahwa untuk setiap sinyal yang berperilaku cukup baik, Transformasi Fourier tidak dapat dibalik dan FT serta kebalikannya linear. Setiap sinyal dengan frekuensi berperilaku cukup baik.

— Marcus Müller

3

Mengapa menyiratkan bahwa sistem LTI tidak dapat menghasilkan frekuensi baru? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Jika frekuensi tertentu tidak ada dalam input kami, . Karena 0 mematuhi identitas multiplikatif , . Dengan demikian frekuensi tidak ada dalam sinyal output. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Mengapa jika suatu sistem menghasilkan frekuensi baru, maka itu bukan LTI?

Katakanlah input kita adalah . Maka jika kita mengasumsikan bahwa sistem kita dapat menghasilkan frekuensi baru, dimungkinkan untuk mendapatkan output . Karena kita tidak dapat menemukan konstanta sedemikian rupa sehingga , sistem kami bukan LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Scott
sumber

Bukankah untuk memeriksa LTI hanya c1 yang digunakan, dan tidak juga c2?

— PENGGUNA

1

saya akan mengatakan bahwa poin pertama, yang pada dasarnya adalah bahwa Anda tidak bisa mendapatkan sesuatu yang tidak nol dengan mengalikan nol kali apa pun, itu adalah jawaban singkat.

— robert bristow-johnson

c1 digunakan untuk linearitas, c2 digunakan untuk pengubahan waktu. Kita dapat memiliki sistem LTI yang menunda semuanya dengan 1 unit waktu.

— Scott

1

Sistem LTI didiagonalisasi oleh frekuensi murni . Sine / cosinus adalah vektor eigen dari sistem linear. Dengan kata lain, setiap input non-nol sinus atau kosinus (atau cisoid kompleks) memiliki output sinus atau kosinus dari frekuensi yang sama persis (tetapi amplitudo output mungkin menghilang).

Satu-satunya hal yang dapat berubah adalah amplitudo atau fase mereka. Oleh karena itu, jika Anda tidak memiliki sinus dengan frekuensi yang diberikan pada input, Anda tidak mendapatkan apa-apa (nol) dengan frekuensi pada output.

Pertanyaan kedua dijawab dengan contraposition atau regula falsi: jika benar, begitu juga $A\implies B$ . Jika suatu sistem LTI, itu tidak menghasilkan frekuensi baru. Jika suatu sistem menghasilkan frekuensi baru, itu bukan LTI. $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
sumber