Z-transform dari downsampler

Dalam makalah ini atau penyaringan multirate, penulis menetapkan hubungan matematika berikut. Biarkan $y_D$ menjadi output dari downsampler sedemikian rupa

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

di mana $M$ adalah faktor downsampling. Dengan kata lain, kami menyimpan setiap sampel $M$ dari sinyal asli. Penulis kemudian menyatakan sebagai berikut:

... z-transform dari $y_D[n]$ diberikan oleh

$Y_{D} [z] = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X [z^{1 / M} W^{k}]$ $Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$
di mana adalah kernel point Discrete Fourier Transform, yaitu $W^k$ $M$ $e^{(-j2\pi k)/M}$ .

Bagaimana kita bisa beralih dari ekspresi yang sebelumnya ke yang terakhir? Apa hubungan antara DFT dan Z-transform yang memungkinkan untuk transisi seperti itu?

dft downsampling z-transform

— Phonon
sumber

Jawaban:

Derivasi ini rumit. Pendekatan yang disarankan sebelumnya memiliki kelemahan. Biarkan saya menunjukkan ini dulu; maka saya akan memberikan solusi yang benar.

Kami ingin menghubungkan transformasi- dari sinyal downsampled, , dengan transformasi- dari sinyal asli . $\mathcal{Z}$ $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ $\mathcal{Z}$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Jalan yang salah

Orang bisa berpikir hanya dengan memasukkan ekspresi untuk sinyal downsampled ke dalam ekspresi dari transformasi- : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Perubahan variabel tampak jelas: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Namun, penting untuk menyadari bahwa meskipun indeks penjumlahan baru masih berjalan dari ke , jumlahnya sekarang lebih 1 dari M bilangan bulat nomor . Dengan kata lain, $n'$ $-\infty$ $\infty$

, $n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$

sedangkan definisi dari transformasi membutuhkan $\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Karena ini bukan lagi transformasi- , kami tidak dapat menulis: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Jalan yang benar

Mari kita tentukan sinyal kereta impuls 'helper' sebagai: $t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Fungsi ini adalah pada satu dari setiap sampel , dan nol di tempat lain. $1$ $M$

Secara ekuivalen, fungsi pulse train dapat ditulis sebagai:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Bukti: Kita perlu mempertimbangkan secara terpisah kasus-kasus dan : $n \in M\mathbb{Z}$ $n \notin M\mathbb{Z}$

Dalam kasus, kami menggunakan ekspresi untukjumlah terbatas dari deret geometri

\begin{aligned} t_{M} [n] & = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} e^{j 2 π k n / M} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} 1 & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - e^{j 2 π k n}}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} M & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - 1}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} 1 & : n \in M Z \\ 0 & : n \notin M Z \end{array} \end{aligned}

$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

n \notin M Z

$n \notin M\mathbb{Z}$ .

Sekarang mari kita kembali ke masalah awal kita menemukan -transformasi downsampler: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Kami menerapkan substitusi , dengan mengingat bahwa ini membuat penjumlahan hanya berjalan pada kelipatan bilangan bulat M: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Kita sekarang dapat menggunakan fungsi kereta impuls di atas untuk menulis ulang dengan aman ini sebagai penjumlahan dari semua : $n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Dengan menggunakan formulasi di atas untuk fungsi kereta impuls sebagai jumlah eksponensial terbatas, kita mendapatkan:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

Penjumlahan di sebelah kanan adalah penjumlahan atas semua bilangan bulat, dan karena itu adalah sah -transform dalam hal . Karena itu, kita dapat menulis: $\mathcal{Z}$ $z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Ini adalah rumus untuk transformasi- dari downsampler. $\mathcal{Z}$

— user9037
sumber

Sangat bagus. Saat membaca jawaban saya sebelumnya di atas, saya juga melihat kesalahan yang sama yang Anda lakukan.

— Jason R

Saya belum pernah melihat notasi ini sebelumnya. Namun, itu sepertinya masuk akal. The -downsampler didefinisikan oleh persamaan: $M$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

Transformasi nya didefinisikan oleh persamaan: $z$

\begin{aligned} Y_{D} (z) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} y_{D} [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [M n] z^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$

$n' = Mn$

Y_{D} (z) = \sum_{n^{'} = - \infty}^{\infty} x [n^{'}] z^{- n^{'} / M}

$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$

$z$ $x[n]$

X (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$

$z$ $x[n]$ $y_D[n]$

Y_{D} (z) = X (z^{1 / M})

$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$

$z$ $z$ $M$ peregangan lipatan konten frekuensi sinyal

$Y_D(z)$ $z$ $z^{1/M}$ $z$ $Y_D(z)$ $z^{1/M}$ $M$ $z$ $X(z)$ . Namun, $z \in \mathbb{C}$ $M$ $M$

{r_{p}, r_{p} e^{\frac{j 2 π}{M}}, r_{p} e^{\frac{j 2 π 2}{M}}, \dots, r_{p} e^{\frac{j 2 π (M - 1)}{M}}}

$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$

= {r_{p}, r_{p} W, r_{p} W^{2}, \dots, r_{p} W^{M - 1}}

$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$

$W_k$ $e^{j2\pi k / M}$ $r_p$ $M$ $z$

r_{p} = \sqrt[M]{| z |} e^{\frac{j ∠ z}{M}}

$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$

$z$ $M$ $r_p$ $z$ $M$ $z$ $z$ $M$ $r_p$ dalam bentuk polar.

$Y_D(z)$ $X(z^{1/M})$ $z$ $Y_D(z)$ $M$ $X(z^{1/M})$ $M$ $X(z^{1/M})$ $Y_D(z)$

Y_{D} (z) = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X (r_{p} (z) W^{k})

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$

$r_p(z)$ $M$ $z$ $M$ $\frac{1}{M}$ $z^{1/M}$

$Y_D(z) = f(g(z))$ $f(z) = X(z)$ $g(z) = z^{1/M}$ $Y_D(z)$ $z$ $Y_D(z)$ $\sqrt{X}$ $X$

— Jason R
sumber

Jawaban yang sangat bagus

— Spacey

Terima kasih. Setiap ahli matematika berlisensi akan merasa ngeri atas upaya saya untuk mendeskripsikan (saya jelas seorang insinyur). Saya tidak berpikir itu sangat jelas, tetapi mungkin orang lain dapat menyarankan penjelasan yang lebih bersih, atau mungkin saya akan memikirkan cara yang lebih baik untuk mengatakannya.

— Jason R

Saya mengerti setengah pertama, tetapi hal-hal menjadi kabur menjelang akhir bagi saya.

— Spacey

Saya harus menulis ulang babak kedua ketika saya mendapat kesempatan. Ini benar-benar hanya teknik standar untuk memperoleh ekspresi untuk komposisi dua fungsi. Saya perlu mengingat kembali detail cara melakukannya.

— Jason R