terutama karena ini adalah pertanyaan tentang konvensi, saya tidak akan memperkuat konvensi konyol MATLAB dan hanya akan menjawab dengan konvensi atau konvensi yang benar dan tepat . yaitu pengindeksan MATLAB untuk DFT tidak benar dan tepat, tetapi saya cukup agnostik tentang yang mana dari tiga konvensi penskalaan umum.
juga, saya tidak membatasi atau 0 ≤ k < N , mereka dapat berupa bilangan bulat karena saya cukup fasis tentang arti mendasar dari Transformasi Fourier Diskrit: DFT dan Seri Diskrit Fourier adalah satu dan sama. DFT memetakan urutan periodik x [ n ] dengan periode N ke urutan periodik lain X [ k ] juga dengan periode N dan iDFT memetakannya kembali.0 ≤ n < N0 ≤ k < Nx [ n ]NX[ k ]N
jadi
X [ k + N ] = X [ k ]
x [ n + N] = x [ n ]∀ n ∈ Z
X[ k + N] = X[ k ]∀ k ∈ Z
juga, lilitan melingkar dalam "domain waktu" ( ) atau "domain frekuensi" ( X [ k ] ) didefinisikan secara konsisten dengan semua konvensi:x [ n ]X[ k ]
W [ k ] ⊛ X [ k ] ≜ N - 1 ∑ i =
h [ n ] ⊛ x [ n ] ≜ ∑i = 0N- 1h [ i ] x [ n - i ] = ∑i = 0N- 1x [ i ] h [ n - i ]
W[ k ] ⊛ X[ K ] ≜ Σi = 0N- 1W[ i ] X[ k - i ] = ¢i = 0N- 1X[ i ] W[ k - i ]
sehingga satu-satunya keuntungan dari satu konvensi lebih dari yang lain (dengan asumsi kedua konvensi itu valid) dapat mengenai kesederhanaan ekspresi beberapa teorema.
konvensi penskalaan paling umum untuk DFT:
D FT{ x [ n ] }saya D FT{ X[ k ] }≜ X[ K ] ≜ Σn = 0N- 1x [ n ]e- j 2 πk n / N≜ x [ n ] = 1N∑k = 0N- 1X[ k ]e+ j 2 πk n / N
memiliki keunggulan kesederhanaan mengenai konvolusi melingkar dalam "domain waktu"
D FT{ h [ n ] ⊛ x [ n ] } = H[ k ] ⋅ X[ k ]
tetapi ada faktor penskalaan yang harus Anda khawatirkan jika Anda berbelit-belit di "domain frekuensi" :
saya D FT{ W[ k ] ⊛ X[ k ] } = 1N⋅ w [ n ] ⋅ x [ n ]
Teorema Parseval memiliki faktor penskalaan yang perlu dikhawatirkan juga.
∑n = 0N- 1∣∣x [ n ] ∣∣2= 1N∑k = 0N- 1∣∣X[ k ] ∣∣2
dan teorema Dualitas:
D FT{ X[ n ] } = N⋅ x [ - k ]
saya D FT{ x [ k ] } = 1N⋅ X[ - n ]
konvensi penskalaan umum lainnya untuk DFT:
saya D FT{ X[ k ] }D FT{ x [ n ] }≜ x [ n ] ≜ ∑k = 0N- 1X[ k ]e+ j 2 πk n / N≜ X[ k ] = 1N∑n = 0N- 1x [ n ]e- j 2 πk n / N
ej ωkn≜ ej ( 2 πk / N) nX[ k ]x [ n ]kNSEBUAH∣∣X[ k ] ∣∣= ∣∣X[ - k ] ∣∣= ∣∣X[ N- k ] ∣∣= A2
ia juga memiliki lebih banyak kesederhanaan mengenai konvolusi melingkar dalam domain frekuensi
saya D FT{ W[ k ] ⊛ X[ k ] } = w [ n ] ⋅ x [ n ]
tetapi ada faktor penskalaan yang harus Anda khawatirkan jika Anda terlibat dalam domain waktu :
D FT{ h [ n ] ⊛ x [ n ] } = 1N⋅ H[ k ] ⋅ X[ k ]
Teorema Parseval memiliki faktor penskalaan yang perlu dikhawatirkan juga.
1N∑n = 0N- 1∣∣x [ n ] ∣∣2= ∑k = 0N- 1∣∣X[ k ] ∣∣2
dan teorema Dualitas:
D FT{ X[ n ] } = 1N⋅ x [ - k ]
saya D FT{ x [ k ] } = N⋅ X[ - n ]
yang kesatuan skala konvensi untuk DFT identik di skala dengan inverse dan menjaga energi di seluruh transformasi atau invers transformasi:
D FT{ x [ n ] }sayaD FT{X[ k ] }≜X[ k ] ≜ 1N--√∑n = 0N- 1x [ n ]e- j 2πk n / N≜ x [ n ] = 1N--√∑k = 0N- 1X[ k ]e+ j 2 πk n / N
konvolusi dalam domain waktu atau domain frekuensi memiliki faktor penskalaan yang sama untuk dikhawatirkan:
D FT{ h [ n ] ⊛ x [ n ] } = 1N--√⋅ H[ k ] ⋅ X[ k ]
saya D FT{ W[ k ] ⊛ X[ k ] } = 1N--√⋅ w [ n ] ⋅ x [ n ]
tetapi teorema Parseval tidak memiliki faktor penskalaan yang perlu dikhawatirkan.
∑n = 0N- 1∣∣x [ n ] ∣∣2= ∑k = 0N- 1∣∣X[ k ] ∣∣2
teorema Dualitas juga tidak:
D FT{ X[ n ] } = x [ - k ]
saya DFT{ x [ k ] } = X[ - n ]