Kapan interpolasi spline kubik lebih baik daripada polinomial interpolasi?

Plot berikut adalah sedikit variasi contoh dalam buku teks. Penulis menggunakan contoh ini untuk mengilustrasikan bahwa polinomial interpolasi pada sampel dengan jarak yang sama memiliki osilasi besar di dekat ujung interval interpolasi. Tentu saja interpolasi spline kubik memberikan perkiraan yang baik selama seluruh interval. Selama bertahun-tahun, saya pikir interpolasi polinomial tingkat tinggi atas sampel dengan spasi yang sama harus dihindari karena alasan yang diilustrasikan di sini.

Namun, saya baru-baru ini menemukan banyak contoh sinyal bandlimited di mana polinomial interpolasi orde tinggi memberikan kesalahan aproksimasi kurang dari interpolasi cubic-spline. Biasanya polinomial Interpolasi lebih akurat selama seluruh interval interpolasi ketika laju sampel cukup tinggi. Ini tampaknya berlaku ketika sampel sama-sama diberi jarak dengan laju sampel setidaknya 3 kali lebih besar dari frekuensi Nyquist sinyal. Selain itu, keuntungan lebih dari interpolasi spline kubik meningkat ketika (tingkat sampel) / (frekuensi Nyquist) meningkat.

Sebagai contoh, saya membandingkan interpolasi kubik-spline dengan polinomial interpolasi untuk gelombang sinus dengan frekuensi Nyquist 2 Hz, dan laju sampel 6,5 Hz. Di antara titik-titik sampel, polinom interpolasi terlihat persis sama dengan sinyal aktual.

Di bawah ini saya membandingkan kesalahan dalam dua perkiraan. Seperti contoh pertama, interpolasi polinomial paling buruk di awal dan akhir interval sampel. Namun, polinomial interpolasi memiliki kesalahan kurang dari spline kubik selama seluruh interval sampel. Polinomial interpolasi juga memiliki lebih sedikit kesalahan ketika melakukan ekstrapolasi dalam interval kecil. Apakah saya menemukan fakta yang terkenal? Jika demikian, di mana saya bisa membacanya?

Fenomena yang sedang dibahas adalah fenomena Runge .

$n$$\sin(\omega t)$$\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$$n$$5^nn!,$$n!$$n$$n$

Jika suatu fungsi hanya memiliki turunan kontinu, maka pendekatan yang bersaing, interpolasi spline polinomial sepotong-bijaksana selalu menyatu jika sejumlah kecil turunan awal terikat pada interval bunga, lihat artikel Wikipedia tentang interpolasi linier sebagai contoh.

Jika kedua metode bertemu, maka interpolasi polinomial (tidak terpisah) memiliki keuntungan dari tingkat polinomial yang lebih tinggi jika banyak sampel digunakan, dan dapat memberikan perkiraan yang lebih baik, seperti yang Anda lihat dalam contoh sinus Anda. Anda juga mungkin tertarik dengan LN Trefethen, Dua hasil interpolasi polinomial dalam titik-titik yang berjarak sama , Journal of Approximation Theory Volume 65, Edisi 3, Juni 1991, Halaman 247-260. Mengutip:

$e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$$0$$n \to \infty$$\alpha$

Anda memiliki 6,5 sampel per panjang gelombang.