Interpretasi Clarke Doppler kepadatan spektral daya

Apa yang saya pahami tentang penyebaran Doppler adalah bahwa gerakan relatif antara Transmitter (TX) dan Receiver (RX) mengubah waktu pemaparan sinyal. Dalam hubungan ke TX-RX jarak konstan, suatu gerakan menuju satu sama lain TX-RX "kompres" sinyal dalam waktu (sinyal membutuhkan waktu lebih sedikit untuk merambat), maka sinyal "diperluas" dalam domain frekuensi. Demikian pula, perpindahan RX-TX "memperluas" sinyal dalam waktu dan "memampatkan" spektrumnya. Singkatnya, itu adalah penskalaan Fourier Transform. Dua case ekstrem ini mengatur batas kiri dan kanan untuk menyebarkan frekuensi asli $-f_d$ dan $+f_d$ dimana $f_d$ adalah penyebaran max Doppler.

Dalam melihat model Clarke, itu hanyalah model propagasi ganda dengan lingkungan hamburan yang kaya dan sudut kedatangan yang sama. (tautan untuk detail selengkapnya model Clarke )

Jika saya mengerti dengan baik, ada dua asumsi yang masuk akal di lingkungan perkotaan:

Rayleigh memudar
sudut kedatangan yang sama, atau sensitivitas penerima yang sama

Saya sudah mengikuti matematika dari artikel aslinya, sepertinya oke. Spektrum daya Doppler terakhir adalah $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

Yang tidak saya mengerti adalah mengapa energi terkonsentrasi pada dua frekuensi penyebaran ekstrim $-f_d$ dan $f_d$ sedangkan sudut kedatangan seragam. Apakah ada interpretasi fisik? Apa yang saya lewatkan dari model Clarke yang terkenal? Secara pribadi, model ini tampaknya memodelkan lingkungan perkotaan yang khas.

RH Clarke, Teori Statistik Penerimaan Mobile-Radio , Jurnal Teknis Sistem Bell, Juli / Agustus 1968, hlm. 957ff

Jawaban Meskipun jawaban Carlos menangkap bagian matematika yang paling mendasar, jawaban sebenarnya adalah dalam komentarnya tentang "pemetaan antara sudut dan frekuensi". Selain itu, jawaban Maximilian juga menarik.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
sumber

Diberi kecepatan konstan dan tidak ada multipath, Anda akan mengharapkan offset frekuensi konstan untuk Doppler ..

— Dan Boschen

Terima kasih Dan, itu benar. Tapi itu bukan alasan saya meminta bantuan.

— AlexTP

Maaf saya salah mengerti pertanyaan Anda; Saya pikir Carlos menjawabnya di bawah, tetapi apa yang Anda harapkan untuk melihat energi selain plot yang Anda tunjukkan?

— Dan Boschen

Ya, Carlos memang menjawab pertanyaan saya, tetapi dalam komentarnya. Ini adalah pemetaan antara sudut kedatangan

θ

$\theta$ dan frekuensi

f

$f$ .

— AlexTP

Jawaban:

Cara berpikir "non-teknis" yang sederhana adalah kenyataan bahwa frekuensi Doppler sebanding dengan $\cos\theta$ . Amplitudo cosinus, bagaimanapun, tidak terdistribusi secara merata, tetapi sangat berbobot $\pm 1$ .

Contoh plot untuk diperagakan, menggunakan kode Python / Pylab:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Lebih keras dapat dilihat dengan memperhatikan hal itu

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$ dan daya yang diterima di sudut mana pun sebanding dengan kenaikan sudut kecil

d θ

$d\theta$ :

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

Dan daya total dapat ditentukan dengan mengintegrasikan kuantitas di atas, yang secara identik menentukan kepadatan daya spektral.

— Robert L.
sumber

Terima kasih. Matematikanya jelas, tetapi tidak menjawab pertanyaan saya. Pertanyaan saya adalah apa interpretasi fisik dari distribusi cos ini, atau bagaimana refleks LoS dan 180 ° menangkap sebagian besar energi secara fisik.

— AlexTP

Pantulan LoS dan 180 derajat tidak menangkap energi paling banyak - ini tidak diklaim oleh model. Tampaknya hanya karena plot dengan singularitas adalah versus frekuensi, bukan sudut. Pemetaan nonlinear antara frekuensi dan sudut adalah mengapa singularitas muncul.

— Robert L.

Terima kasih sekali lagi, ini yang ingin saya tanyakan, "pemetaan nonlinier". Apakah Anda setuju bahwa saya dapat mengatakan, dalam bahasa lain, jika kita mengambil jumlah bandwidth yang sama

Δ f

$\Delta f$ untuk berintegrasi, semakin dekat ke ekstremitas spektrum Doppler band ini, semakin banyak sudut

d Θ

$d\Theta$ kita menumpuk, dan itulah alasan mengapa kita memiliki lebih banyak kekuatan di ekstremitas?

— AlexTP

Selain jawaban Carlos, saya ingin memperbaiki pemahaman umum Anda:

Apa yang saya pahami tentang penyebaran Doppler adalah bahwa gerakan relatif antara Transmitter (TX) dan Receiver (RX) mengubah waktu pemaparan sinyal. Dalam hubungan ke TX-RX jarak konstan, suatu gerakan menuju satu sama lain TX-RX "kompres" sinyal dalam waktu (sinyal membutuhkan waktu lebih sedikit untuk merambat), maka sinyal "diperluas" dalam domain frekuensi. Demikian pula, perpindahan RX-TX "memperluas" sinyal dalam waktu dan "memampatkan" spektrumnya. Singkatnya, itu adalah penskalaan Fourier Transform .

Pemahaman Anda benar dalam arti wideband. Namun, model Clarke mengacu pada situasi pita sempit, di mana penyebaran Doppler diberikan oleh $f_d=f_c \frac{v}{c}$ . Dalam situasi pita lebar, Anda tidak memiliki frekuensi pembawa. Dalam model Clarkes, Anda menganggap bahwa bandwidth $\Delta f$ dari sinyal jauh lebih kecil dari $f_c$ dan sinyal terkonsentrasi di $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ . Dalam model Clarke, setiap frekuensi mengalami pergeseran yang sama, yaitu X_ {out} (f) = X_ {in} (f-df), di mana $df$ adalah pergeseran instan, $X_{in},X_{out}$ adalah transformasi Fourier dari sinyal yang dikirim dan diterima. Ini kira-kira benar, asalkan $\Delta f<<f_c$ . Dalam model pita lebar Anda, setiap frekuensi mengalami pergeseran yang proporsional dengan frekuensi, yaitu $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ dengan $\alpha=\frac{v}{c}$ .

EDIT: Izinkan saya menjelaskan sedikit lebih dalam istilah matematika:

Secara umum, diberikan gelombang sinus dengan frekuensi $f$ yang dikirim ke penerima, di mana TX dan RX memiliki kecepatan relatif $v$ , gelombang sinus diterima dengan frekuensi $f(1\pm-\frac{v}{c})$ (tanda tergantung pada arah gerakan).

Asumsi narrowband sekarang mengatakan bahwa sinyal transmisi terletak di sekitar frekuensi pembawa $f_c\pm\Delta f$ dimana $2\Delta f<<f_c$ adalah bandwidth dari sinyal (saya gunakan $2\Delta f$ sebagai bandwidth untuk kesederhanaan notasi). Sekarang, asumsikan gelombang sinus dengan frekuensi $f_c-\Delta f$ ditransmisikan. Jadi, gelombang sinus yang diterima memiliki frekuensi

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{i n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$ dari mana perkiraan berasal

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ . Seperti yang Anda lihat, pergeseran frekuensi tidak tergantung pada frekuensi aktual relatif terhadap frekuensi pembawa. Ini adalah asumsi narowband.

Saya tidak ingin mengatakan bahwa efek penyebaran Doppler tidak mengubah bandwidth sinyal. Bahkan, itu menyebarkan sinyal $f_D=f_c\frac{v}{c}$ . Namun, perbedaan penting yang ingin saya tunjukkan adalah bahwa dalam narrowband Anda dapat mengasumsikan semua frekuensi mengalami pergeseran yang sama, sedangkan di wideband, perubahan itu tergantung pada frekuensi aktual. Model Clarke berlaku untuk kasus pita sempit, karena menggambarkan distribusi pergeseran frekuensi, ketika gelombang sinus dengan frekuensi apa pun (dalam bandwidth) dikirim ke sistem.

— Maximilian Matthé
sumber

Terima kasih. Namun saya tidak mengerti. Apa perbedaan kasus pita lebar dan pita sempit ini? Bisakah saya katakan dalam kasus narrowband

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$ dan

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$ karena

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$ ? Biarkan saya menyatakan pendapat saya dengan cara lain, apakah Anda memberi tahu saya bahwa penyebaran Doppler tidak mengubah bandwidth

Δ f

$\Delta f$ sinyal? Pendapat saya adalah bahwa band ini memang diperluas, tetapi ekspansi itu tidak signifikan karena sifat (atau kondisinya) yang sempit.

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ .

— AlexTP

@AlexTP Saya telah menambahkan beberapa matematika. derivasi, mungkin ini membuatnya lebih jelas?

— Maximilian Matthé

Terima kasih. Saya mengerti maksud Anda sekarang. Memang, kami telah menceritakan kisah yang sama karena

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$ masih operasi penskalaan, tetapi perkiraan titik untuk pergeseran frekuensi konstan sangat menarik. Bisakah Anda menguraikan "model Clarke berlaku untuk kasus pita sempit, karena menggambarkan distribusi pergeseran frekuensi"? Saya mengerti bahwa tanpa asumsi narrowband, rumus spektrum Doppler tidak seperti yang saya kutip.

— AlexTP

Yang ingin saya ketahui adalah bahwa jika dukungan spektrum Doppler bergantung pada asumsi narrowband. Karena saya mengerti bahwa untuk frekuensi yang diberikan, setiap sudut kedatangan

θ

$\theta$ menciptakan a

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$ . Jalur refleksi LoS dan 180 derajat menciptakan dua ekstremitas spektrum Doppler, dan dukungannya harus independen terhadap sifat sinyal yang ditransmisikan. Yang akan berubah hanyalah spektrum kekuatan itu sendiri.

— AlexTP

Setiap sudut kedatangan menciptakan perubahan frekuensi yang berbeda

f (θ)

$f(\theta)$ , itu adalah

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$ . Dengan cara lain, saya pikir Anda dapat memahami spektrum Doppler sebagai fungsi kepadatan probabilitas dari pergeseran doppler yang berpengalaman, ketika sudut kedatangan terdistribusi secara merata. Yaitu, kemungkinan besar, bahwa pergeseran itu

\pm f_{D}

$\pm f_D$ , tetapi tidak sangat mungkin bahwa pergeseran itu

0

$0$ .

— Maximilian Matthé