http://nbviewer.jupyter.org/gist/leftaroundabout/83df89a7d3bdc24373ea470fb50be629
DFT, ukuran 16
FFT, ukuran 16
Perbedaan dalam kompleksitas cukup jelas dari itu, bukan?
Begini cara saya memahami FFT.
Pertama, saya akan selalu berpikir tentang transformasi Fourier terutama sebagai transformasi fungsi kontinu , yaitu pemetaan bijektifFT : L2( R ) → L2( R ). Dalam terang itu jelas bahwa itu tidak mungkin benar-benar perlu untuk pergi ke "level terdalam" dan loop atas elemen individu , karena "elemen individu" adalah titik tunggal pada garis nyata, di mana ada tak terhingga tak terhitung jumlahnya .
Jadi bagaimana transformasi ini masih didefinisikan dengan baik? Yah, sangat penting untuk beroperasi bukan pada ruang fungsi umumR → Ctetapi hanya pada ruang fungsi integrable (Lebesgue-, square-) . Sekarang, keterpaduan ini bukan properti yang sangat kuat (jauh lebih lemah daripada diferensiabilitas, dll.), Tetapi ia menuntut agar fungsi tersebut menjadi “dapat dijelaskan secara lokal dengan informasi yang dapat dihitung”. Discription seperti itu diberikan oleh koefisien Fourier Transform jangka pendek . †Kasus paling sederhana adalah bahwa fungsi Anda kontinu dan Anda membaginya dalam wilayah sangat kecil sehingga pada dasarnya konstan di masing-masing. Kemudian masing-masing STFT memiliki paling kuat istilah nol. Jika Anda mengabaikan (lagian membusuk) koefisien lainnya maka setiap domain hanya satu titik data tunggal. Dari semua koefisien waktu-pendek-LF-batas ini, Anda bisa mengambil transformasi Fourier diskrit. Bahkan, itulah yang Anda lakukan ketika melakukan FT apa pun pada data dunia nyata yang diukur!
Namun, data yang diukur tidak harus sesuai dengan kuantitas fisik dasar. Misalnya, ketika Anda mengukur intensitas cahaya , Anda benar-benar hanya mengukur amplitudo gelombang elektromagnetik yang frekuensinya terlalu tinggi untuk dicoba dengan ADC. Tapi yang jelas Anda juga dapat menghitung DFT dari sinyal intensitas cahaya sampel, dan murah, meskipun frekuensi gelombang cahaya gila.
Ini bisa dipahami karena alasan terpenting FFT murah:
Jangan repot-repot mencoba melihat siklus osilasi individu dari tingkat tertinggi. Alih-alih, ubah hanya informasi tingkat tinggi yang sudah diproses sebelumnya secara lokal.
Namun, tidak hanya itu yang ada. Hal yang hebat tentang FFT adalah masih memberi Anda semua informasi yang DFT lengkap akan berikan . Yaitu semua informasi yang juga akan Anda dapatkan ketika mengambil sampel gelombang elektromagnetik yang tepat dari sebuah berkas cahaya. Bisakah ini dicapai dengan mengubah sinyal fotodioda? - Dapatkah Anda mengukur frekuensi cahaya yang tepat dari itu?
Yah, jawabannya tidak, Anda tidak bisa. Yaitu, kecuali Anda menerapkan trik tambahan.
Pertama-tama, Anda perlu setidaknya sekitar mengukur frekuensi dalam blok waktu singkat. Ya, itu mungkin dengan spektograf. Tapi itu hanya mungkin sampai dengan ketepatanΔ ν= 1 / Δ t, hubungan ketidakpastian yang khas ‡ .
Dengan memiliki keseluruhan rentang waktu yang lebih lama, kita juga harus dapat mempersempit ketidakpastian frekuensi. Dan ini memang mungkin, jika Anda mengukur secara lokal tidak hanya frekuensi kasar tetapi juga fase gelombang. Anda tahu bahwa sinyal 1000 Hz akan memiliki fase yang persis sama jika Anda melihatnya satu detik kemudian. Sedangkan sinyal 1000,5 Hz, sementara tidak dapat dibedakan dalam skala pendek, akan membalik fase satu detik kemudian.
Untungnya, informasi fase itu dapat disimpan dengan baik dalam satu bilangan kompleks. Dan itulah cara kerja FFT! Ini dimulai dengan banyak transformasi lokal kecil. Ini murah - untuk satu hal jelas karena mereka hanya menggunakan sejumlah kecil data, tetapi kedua karena mereka tahu bahwa, karena rentang waktu yang singkat, mereka tidak dapat menyelesaikan frekuensinya dengan sangat tepat - jadi tetap terjangkau meskipun Anda melakukan banyak transformasi seperti itu.
Ini, bagaimanapun, merekam juga fase , dan dari sana Anda kemudian dapat membuat resolusi frekuensi lebih tepat di tingkat atas. Transformasi yang diperlukan sekali lagi murah, karena itu sendiri tidak mengganggu osilasi frekuensi tinggi tetapi hanya dengan data frekuensi rendah pra-diproses.
† Yup, argumentasi saya agak melingkar pada titik ini. Sebut saja itu rekursif dan kami baik-baik saja ...
‡ Hubungan ini adalah tidak kuantum mekanik, tetapi ketidakpastian Heisenberg memiliki sebenarnya alasan mendasar yang sama.