Mengganti "e" dalam rumus Euler dengan nomor lain


8

Apakah rumus Euler tetap valid jika kita menggunakan bilangan real selain dari konstanta ? Misalnya mengganti dengan 5 akan membuat rumus terlihat seperti ini: .ee5it

Saya mencoba ide ini di Matlab dan mengganti dengan beberapa bilangan real lainnya (mis. 1,5, 10, 2.1) dan setiap kali plot masih menunjukkan apa yang tampak seperti gelombang kosinus dan sinus. Frekuensi cos dan dosa berubah tergantung pada dasarnya.e

Inilah kira-kira pendekatan saya:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

 Contoh plot komponen nyata dan imajiner: 1.5 ^ (i * 2 * pi * 100 * t)

Jawaban:


23

Katakanlah Anda tertarik pada Perhatikan bahwa jadi dapat ditulis sebagai

(1)Mj2πf0t.
M=elogM,
(1)

Mj2πf0t=(elogM)j2πf0t=ej2π(f0logM)t=cos(2π(f0logM)t)+jsin(2π(f0logM)t),
yang merupakan sinusoid kompleks dengan frekuensi . Itu sebabnya menggunakan bukannya menghasilkan perubahan frekuensi.f0logMMe

2

Itu pertanyaan yang menarik. Mari kita lihat bilangan kompleks bukan nol apaw memiliki properti yang mereka sukai e"Dalam rumus klasik, yaitu, itu

ez=wz
untuk semua kompleks z=x+iy. Untuk kenyamanan, misalkan kita bisa menulis
w=reit

Simbol wz mengambil beberapa nilai yang mungkin

wz=ezlogw=e(x+iy)(lnr+it+2kπipossible values of logw)=e(xlnryt2kπy)+i(ylnr+xt+2kπx)

Ini berarti kita akan memilikinya ez=wz kapan

(x+yi)[(xlnryt2kπy)+i(ylnr+xt+2kπx)]=2πni
untuk beberapa n. Tapi ini berarti (dengan menyamakan bagian nyata dan imajiner di kedua sisi)
{x=xlnryt2kπyy=ylnr+xt+2kπx+2πn
Ini bisa terjadi untuk semua z (yaitu semua x,y) hanya jika r=e dan t=k=n=0.

Tapi itu artinya w=ee0i=e, jadi tidak ada bilangan kompleks lainnya w itu akan melakukan trik.


1

Untuk apa pun, a=eln(a) karena "ex"dan" ln (x) "adalah" fungsi terbalik. Begitu

ait=eln(ait)=eitln(a)
. Kemudian
ait=ei(tln(a))=cos(tln(a))+isin(tln(a)).

Untuk yang positif a
Laurent Duval

@HallsofIvy: Ini tidak sepenuhnya benar. Bahkan dengan asumsia>0, Sebuahsayat mengambil beberapa nilai:
Sebuahsayat=esayat(dalamSebuah+2πksaya)=e-2πkt+sayatdalamSebuah=e-2πkt(cos(tdalamSebuah)+sayadosa(tdalamSebuah))
(pengambilan k=0memulihkan nilai spesifik Anda). JikaSebuahnegatif, atau tidak nyata, bahkan lebih rumit.
MPW
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.