Mengganti "e" dalam rumus Euler dengan nomor lain

8

Apakah rumus Euler tetap valid jika kita menggunakan bilangan real selain dari konstanta ? Misalnya mengganti dengan 5 akan membuat rumus terlihat seperti ini: . $e$ $e$ $5^{it}$

Saya mencoba ide ini di Matlab dan mengganti dengan beberapa bilangan real lainnya (mis. 1,5, 10, 2.1) dan setiap kali plot masih menunjukkan apa yang tampak seperti gelombang kosinus dan sinus. Frekuensi cos dan dosa berubah tergantung pada dasarnya. $e$

Inilah kira-kira pendekatan saya:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

— ingin tahu
sumber

23

Katakanlah Anda tertarik pada Perhatikan bahwa jadi dapat ditulis sebagai

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$

M = e^{\log M},

$M = e^{\log M},$

(1)

$(1)$

\begin{aligned} M^{j 2 π f_{0} t} & = {(e^{\log M})}^{j 2 π f_{0} t} \\ = e^{j 2 π (f_{0} \log M) t} \\ = \cos (2 π (f_{0} \log M) t) + j \sin (2 π (f_{0} \log M) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$ yang merupakan sinusoid kompleks dengan frekuensi . Itu sebabnya menggunakan bukannya menghasilkan perubahan frekuensi.

f_{0} \log M

$f_0 \log M$

M

$M$

e

$e$

— MBaz
sumber

2

Itu pertanyaan yang menarik. Mari kita lihat bilangan kompleks bukan nol apa $w$ memiliki properti yang mereka sukai $e$ "Dalam rumus klasik, yaitu, itu

e^{z} = w^{z}

$e^z = w^z$ untuk semua kompleks

z = x + i y

$z=x+iy$ . Untuk kenyamanan, misalkan kita bisa menulis

w = r e^{i t}

$w=re^{it}$

Simbol $w^z$ mengambil beberapa nilai yang mungkin

w^{z} = e^{z \log w} = e^{(x + i y) (\overset{possible values of \log w}{\overset{⏞}{\ln r + i t + 2 k π i}})} = e^{(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

Ini berarti kita akan memilikinya $e^z=w^z$ kapan

(x + y i) - [(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)] = 2 π n i

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$ untuk beberapa

n

$n$ . Tapi ini berarti (dengan menyamakan bagian nyata dan imajiner di kedua sisi)

{\begin{cases} x = x \ln r - y t - 2 k π y \\ y = y \ln r + x t + 2 k π x + 2 π n \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$ Ini bisa terjadi untuk semua

z

$z$ (yaitu semua

x, y

$x,y$ ) hanya jika

r = e

$r=e$ dan

t = k = n = 0

$t=k=n=0$ .

Tapi itu artinya $w =e\cdot e^{0i}=e$ , jadi tidak ada bilangan kompleks lainnya $w$ itu akan melakukan trik.

— PU
sumber

1

Untuk apa pun, $a= e^{ln(a)}$ karena " $e^x$ "dan" ln (x) "adalah" fungsi terbalik. Begitu

a^{i t} = e^{\ln (a^{i t})} = e^{i t \ln (a)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$ . Kemudian

a^{i t} = e^{i (t \ln (a))} = \cos (t \ln (a)) + i \sin (t \ln (a)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

— HallsofIvy
sumber

Untuk yang positif

a

$a$

— Laurent Duval

@HallsofIvy: Ini tidak sepenuhnya benar. Bahkan dengan asumsi

a > 0

$a>0$ ,

a^{i t}

$a^{it}$ mengambil beberapa nilai:

{Sebuah}^{saya t} = e^{saya t (dalam Sebuah + 2 π k saya)} = e^{- 2 π k t + saya t dalam Sebuah} = e^{- 2 π k t} (\cos (t dalam Sebuah) + saya dosa (t dalam Sebuah))

$a^{it}=e^{it(\ln a + 2\pi ki)} = e^{-2\pi kt + it\ln a} = e^{-2\pi kt}(\cos(t\ln a) + i\sin(t\ln a))$ (pengambilan

k = 0

$k=0$ memulihkan nilai spesifik Anda). Jika

a

$a$ negatif, atau tidak nyata, bahkan lebih rumit.

— MPW